Упр.11.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.37

а) Рассмотрим область, где выражения под корнями определены, а знаменатель не равен нулю:

$$ \begin{cases} 13x+25 \ge 0,\\ 11x+23 \ge 0,\\ |x-2| \ne 0. \end{cases} $$

Отсюда

$$ x \ge -\frac{25}{13}, \qquad x \ge -\frac{23}{11}, \qquad x \ne 2. $$

Значит, достаточно рассматривать множество

$$ M=\left[-\frac{25}{13};\,2\right)\cup(2;+\infty). $$

На множестве $M$ число $|x-2|>0$, поэтому можно умножить исходное неравенство на $|x-2|$:

$$ \frac{\sqrt{13x+25}}{|x-2|}>\frac{\sqrt{11x+23}}{|x-2|} \iff \sqrt{13x+25}>\sqrt{11x+23}. $$

Так как обе части неотрицательны, получаем равносильное неравенство

$$ 13x+25>11x+23. $$

$$ 2x>-2, $$

$$ x>-1. $$

Пересекаем с множеством $M$:

$$ x\in(-1;2)\cup(2;+\infty). $$

б) Аналогично, для существования выражений под корнями и знаменателя:

$$ \begin{cases} 9x+45 \ge 0,\\ 7x+15 \ge 0,\\ |x+2| \ne 0. \end{cases} $$

Отсюда

$$ x \ge -5, \qquad x \ge -\frac{15}{7}, \qquad x \ne -2. $$

Значит,

$$ M=\left[-\frac{15}{7};\,-2\right)\cup(-2;+\infty). $$

На множестве $M$ имеем $|x+2|>0$, поэтому

$$ \frac{\sqrt{9x+45}}{|x+2|}<\frac{\sqrt{7x+15}}{|x+2|} \iff \sqrt{9x+45}<\sqrt{7x+15}. $$

Тогда

$$ 9x+45<7x+15, $$

$$ 2x<-30, $$

$$ x<-15. $$

Но это не пересекается с множеством $M$, следовательно, решений нет.

Ответ

а) $$x\in(-1;2)\cup(2;+\infty).$$

б) Решений нет.