Упр.11.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим область, где выражения под корнями определены, а знаменатель не равен нулю:

$$\begin{cases} 13x+25 \ge 0,\\ 11x+23 \ge 0,\\ |x-2| \ne 0. \end{cases}$$

Отсюда

$$x \ge -\frac{25}{13}, \qquad x \ge -\frac{23}{11}, \qquad x \ne 2.$$

Значит, достаточно рассматривать множество

$$M=\left[-\frac{25}{13};\,2\right)\cup(2;+\infty).$$

На множестве $$M$$ число $$|x-2|>0$$, поэтому можно умножить исходное неравенство на $$|x-2|$$:

$$\frac{\sqrt{13x+25}}{|x-2|}>\frac{\sqrt{11x+23}}{|x-2|} \iff \sqrt{13x+25}>\sqrt{11x+23}.$$

Так как обе части неотрицательны, получаем равносильное неравенство

$$13x+25>11x+23.$$

$$2x>-2,$$

$$x>-1.$$

Пересекаем с множеством $$M$$:

$$x\in(-1;2)\cup(2;+\infty).$$

б) Аналогично, для существования выражений под корнями и знаменателя:

$$\begin{cases} 9x+45 \ge 0,\\ 7x+15 \ge 0,\\ |x+2| \ne 0. \end{cases}$$

Отсюда

$$x \ge -5, \qquad x \ge -\frac{15}{7}, \qquad x \ne -2.$$

Значит,

$$M=\left[-\frac{15}{7};\,-2\right)\cup(-2;+\infty).$$

На множестве $$M$$ имеем $$|x+2|>0$$, поэтому

$$\frac{\sqrt{9x+45}}{|x+2|}<\frac{\sqrt{7x+15}}{|x+2|} \iff \sqrt{9x+45}<\sqrt{7x+15}.$$

Тогда

$$9x+45<7x+15,$$

$$2x<-30,$$

$$x<-15.$$

Но это не пересекается с множеством $$M$$, следовательно, решений нет.

Ответ

а) $$x\in(-1;2)\cup(2;+\infty).$$

б) Решений нет.