Упр.11.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.35

а) Область определения задаётся условием

$$ (x-4)(x-1)>0, $$

откуда

$$ x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty). $$

На этой области можно умножить неравенство на $$\sqrt{(x-4)(x-1)}$$ и получить равносильное:

$$ 3\sqrt{(x-1)^2}-\sqrt{(x-4)^2}<5. $$

Так как на найденной области $$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|$$ и $$\sqrt{(x-4)^2}=|x-4|,$$ имеем

$$ 3|x-1|-|x-4|<5. $$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\in(-\infty;1),$$ то $$|x-1|=1-x,$$ $$|x-4|=4-x,$$ и

$$ 3(1-x)-(4-x)<5, $$

$$ -2x-1<5, $$

$$ x>-3. $$

С учётом области случая получаем $$x\in(-3;1).$$

2) Если $$x\in(4;+\infty),$$ то $$|x-1|=x-1,$$ $$|x-4|=x-4,$$ и

$$ 3(x-1)-(x-4)<5, $$

$$ 2x+1<5, $$

$$ x<2. $$

Это условие не совместимо с $$x\in(4;+\infty),$$ поэтому решений здесь нет.

Следовательно,

$$ x\in(-3;1). $$

б) Область определения:

$$ (x+2)(x+3)>0, $$

откуда

$$ x\in(-\infty;-3)\cup(-2;+\infty). $$

На этой области неравенство равносильно

$$ 4\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(x+3)^2}>9, $$

то есть

$$ 4|x+2|+|x+3|>9. $$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\in(-\infty;-3),$$ то $$|x+2|=-(x+2),$$ $$|x+3|=-(x+3),$$ и

$$ -4(x+2)-(x+3)>9, $$

$$ -5x-11>9, $$

$$ x<-4. $$

С учётом области случая получаем $$x\in(-\infty;-4).$$

2) Если $$x\in(-2;+\infty),$$ то $$|x+2|=x+2,$$ $$|x+3|=x+3,$$ и

$$ 4(x+2)+(x+3)>9, $$

$$ 5x+11>9, $$

$$ x>-\frac{2}{5}. $$

С учётом области случая получаем $$x\in\left(-\frac{2}{5};+\infty\right).$$

Итак,

$$ x\in(-\infty;-4)\cup\left(-\frac{2}{5};+\infty\right). $$

Ответ

а) $$x\in(-3;1)$$

б) $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(-\frac{2}{5};+\infty\right)$$