Упр.11.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

11.34 а) (корень x) — 2 > корень 3 степени ((x2+x (корень x) — 2x + 12 (корень x) — 13);
б) (корень x) + 1 > корень 3 степени ((x2+x (корень x) + x + 3 (корень x) — 7).

а) Область определения: $$x \ge 0.$$

Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t \ge 0$$ и неравенство принимает вид

$$ (t-2)^3 > t^4+t^3-2t^2+12t-13. $$

Раскроем скобки:

$$ t^3-6t^2+12t-8 > t^4+t^3-2t^2+12t-13. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ -t^4-4t^2+5 > 0, $$

или

$$ t^4+4t^2-5 < 0. $$

Обозначим $$u=t^2$$. Тогда

$$ u^2+4u-5<0, $$

$$ (u+5)(u-1)<0. $$

Отсюда $$-5<u<1.$$ Так как $$u=t^2\ge 0$$, получаем $$0\le u<1$$, то есть

$$ 0\le t<1. $$

Возвращаясь к $$x$$, имеем

$$ 0\le \sqrt{x}<1 \quad \Longrightarrow \quad 0\le x<1. $$

б) Область определения: $$x \ge 0.$$

Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t \ge 0$$ и

$$ (t+1)^3 > t^4+t^3-t^2+3t-7. $$

Раскроем скобки:

$$ t^3+3t^2+3t+1 > t^4+t^3-t^2+3t-7. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ -t^4+4t^2+8 > 0, $$

или

$$ t^4-4t^2-8 < 0. $$

Обозначим $$u=t^2$$. Тогда

$$ u^2-4u-8<0. $$

Найдём корни:

$$ u_{1,2}=2\pm 2\sqrt{3}. $$

Следовательно,

$$ 2-2\sqrt{3} < u < 2+2\sqrt{3}. $$

Так как $$u=t^2\ge 0$$, получаем

$$ 0\le u<2+2\sqrt{3}. $$

Значит,

$$ 0\le \sqrt{x}<\sqrt{2+2\sqrt{3}}, $$

то есть

$$ 0\le x<2+2\sqrt{3}. $$

Ответ

а) $$x\in[0;1)$$;

б) $$x\in\left[0;2+2\sqrt{3}\right).$$