Упр.11.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) sinx/tgx + cosx > 0;
в) tgxctgx > 2sinx;
г) tgxctgx < 2cosx.

1. $$\frac{\cos x}{\ctg x}+\sin x<0$$

   Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$$, то при $$\ctg x\neq 0$$ имеем

   $$\frac{\cos x}{\ctg x}=\sin x.$$

   Тогда

   $$2\sin x<0 \;\Longleftrightarrow\; \sin x<0.$$

   С учётом области определения: $$\ctg x$$ существует при $$x\neq \pi k,\; k\in\mathbb Z,$$ а $$\ctg x\neq 0$$ при $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\pi+2\pi k;\,-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k)\cup(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k;\,2\pi k),\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\frac{\sin x}{\tg x}+\cos x>0$$

   Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$, то при $$\tg x\neq 0$$ имеем

   $$\frac{\sin x}{\tg x}=\cos x.$$

   Тогда

   $$2\cos x>0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x>0.$$

   Учитывая, что $$\tg x$$ существует при $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ а $$\tg x\neq 0$$ при $$x\neq \pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ получаем

   $$x\in\left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x\ctg x>2\sin x$$

   На области определения $$\tg x\ctg x=1$$, поэтому

   $$1>2\sin x \;\Longleftrightarrow\; \sin x<\frac12.$$

   При этом должны существовать и $$\tg x$$, и $$\ctg x$$, то есть

   $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\neq \pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

   Из неравенства $$\sin x<\frac12$$ получаем

   $$x\in\left(-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\tfrac{13\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Исключая точки, где $$\tg x$$ или $$\ctg x$$ не определены, получаем

   $$x\in\left(-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\pi+2\pi n\right)\cup\left(-\pi+2\pi n;\,-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\,\tfrac{13\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\tg x\ctg x<2\cos x$$

   На области определения $$\tg x\ctg x=1$$, значит

   $$1<2\cos x \;\Longleftrightarrow\; \cos x>\frac12.$$

   С учётом области определения $$\tg x$$ и $$\ctg x$$:

   $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\neq \pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$

   Из неравенства $$\cos x>\frac12$$ имеем

   $$x\in\left(-\tfrac{\pi}{3}+2\pi k;\,\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Исключая точки разрыва, получаем

   $$x\in\left(-\tfrac{\pi}{3}+2\pi k;\,0+2\pi k\right)\cup\left(0+2\pi k;\,\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in(-\pi+2\pi k;\,-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k)\cup(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k;\,2\pi k),\ k\in\mathbb Z;$$

б) $$x\in\left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$x\in\left(-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\pi+2\pi n\right)\cup\left(-\pi+2\pi n;\,-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\,\tfrac{13\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$x\in\left(-\tfrac{\pi}{3}+2\pi k;\,0+2\pi k\right)\cup\left(0+2\pi k;\,\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$