Упр.11.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$\frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x}+\sin<0$$;
б) $$\frac{\sin x}{\operatorname{tg} x}+\cos x>0$$;
в) $$\operatorname{tg} x\operatorname{ctg} x>2\sin x$$;
г) $$\operatorname{tg} x\operatorname{ctg} x<2\cos x$$.
$$\frac{\cos x}{\ctg x}+\sin x<0$$
Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}$$, то при $$\ctg x\neq 0$$ имеем
$$\frac{\cos x}{\ctg x}=\sin x.$$
Тогда
$$2\sin x<0 \;\Longleftrightarrow\; \sin x<0.$$
С учётом области определения: $$\ctg x$$ существует при $$x\neq \pi k,\; k\in\mathbb Z,$$ а $$\ctg x\neq 0$$ при $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$x\in(-\pi+2\pi k;\,-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k)\cup(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k;\,2\pi k),\quad k\in\mathbb Z.$$
$$\frac{\sin x}{\tg x}+\cos x>0$$
Так как $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}$$, то при $$\tg x\neq 0$$ имеем
$$\frac{\sin x}{\tg x}=\cos x.$$
Тогда
$$2\cos x>0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x>0.$$
Учитывая, что $$\tg x$$ существует при $$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ а $$\tg x\neq 0$$ при $$x\neq \pi n,\; n\in\mathbb Z,$$ получаем
$$x\in\left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\tg x\ctg x>2\sin x$$
На области определения $$\tg x\ctg x=1$$, поэтому
$$1>2\sin x \;\Longleftrightarrow\; \sin x<\frac12.$$
При этом должны существовать и $$\tg x$$, и $$\ctg x$$, то есть
$$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\neq \pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$
Из неравенства $$\sin x<\frac12$$ получаем
$$x\in\left(-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\tfrac{13\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Исключая точки, где $$\tg x$$ или $$\ctg x$$ не определены, получаем
$$x\in\left(-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\pi+2\pi n\right)\cup\left(-\pi+2\pi n;\,-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\,\tfrac{13\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\tg x\ctg x<2\cos x$$
На области определения $$\tg x\ctg x=1$$, значит
$$1<2\cos x \;\Longleftrightarrow\; \cos x>\frac12.$$
С учётом области определения $$\tg x$$ и $$\ctg x$$:
$$x\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\neq \pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$
Из неравенства $$\cos x>\frac12$$ имеем
$$x\in\left(-\tfrac{\pi}{3}+2\pi k;\,\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
Исключая точки разрыва, получаем
$$x\in\left(-\tfrac{\pi}{3}+2\pi k;\,0+2\pi k\right)\cup\left(0+2\pi k;\,\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x\in(-\pi+2\pi k;\,-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k)\cup(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k;\,2\pi k),\ k\in\mathbb Z;$$
б) $$x\in\left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x\in\left(-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,-\pi+2\pi n\right)\cup\left(-\pi+2\pi n;\,-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)\cup\left(-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n;\,2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\,\tfrac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n;\,\pi+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\,\tfrac{13\pi}{6}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x\in\left(-\tfrac{\pi}{3}+2\pi k;\,0+2\pi k\right)\cup\left(0+2\pi k;\,\tfrac{\pi}{3}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$
