Упр.11.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) на множестве положительных чисел;
б) на множестве отрицательных чисел;
в) на множестве всех действительных чисел.

1. На множестве положительных чисел можно взять, например, неравенства

   $$\log_2\sqrt{x+3} > \log_2\sqrt{x}$$

   и

   $$\sqrt{x+3} > \sqrt{x}, \qquad x \in (0;+\infty).$$

   Так как функция $$\log_2 t$$ возрастает при $$t>0$$, эти неравенства равносильны.

2. На множестве отрицательных чисел можно привести пример

   $$\log_2\sqrt{-x+3} > \log_2\sqrt{-x}$$

   и

   $$\sqrt{-x+3} > \sqrt{-x}, \qquad x \in (-\infty;0).$$

   Они равносильны, так как логарифмическая функция с основанием $$2$$ возрастает.

3. На множестве всех действительных чисел можно взять, например, неравенства

   $$x-3<2x+2$$

   и

   $$x<-5.$$

   Они равносильны на множестве $$\mathbb{R}$$, так как первое неравенство после преобразования даёт

   $$x-3<2x+2 \\ -5<x \\ x>-5.$$

   Значит, можно записать, например, пару

   $$x-3<2x+2 \quad \text{и} \quad x>-5.$$

Ответ

а) $$\log_2\sqrt{x+3} > \log_2\sqrt{x}$$ и $$\sqrt{x+3} > \sqrt{x}, \ x \in (0;+\infty);$$

б) $$\log_2\sqrt{-x+3} > \log_2\sqrt{-x}$$ и $$\sqrt{-x+3} > \sqrt{-x}, \ x \in (-\infty;0);$$

в) $$x-3<2x+2$$ и $$x>-5.$$