Упр.11.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) tgx + x2 + 2x > tgx + 3;
в) ctgx + x2 < ctgx + x + 6;
г) ctgx + x2 + x > ctgx + 6.
а) $$\tg x+x^2<\tg x+2x+3$$
Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
Сократим одинаковые слагаемые:
$$x^2-2x-3<0.$$
Решаем квадратное неравенство:
$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1),$$
откуда
$$x\in(-1;3).$$
С учётом ОДЗ исключаем точку $$x=\frac{\pi}{2}$$:
$$x\in\left(-1;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};3\right).$$
б) $$\tg x+x^2+2x>\tg x+3$$
Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
Получаем:
$$x^2+2x-3>0.$$
Разложим на множители:
$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1),$$
тогда
$$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$
Исключаем точку $$x=\frac{\pi}{2}$$:
$$x\in(-\infty;-3)\cup\left(1;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};+\infty\right).$$
в) $$\ctg x+x^2<\ctg x+x+6$$
Область определения: $$x\ne \pi k,\; k\in \mathbb Z.$$
Сократим одинаковые слагаемые:
$$x^2-x-6<0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2),$$
откуда
$$x\in(-2;3).$$
С учётом ОДЗ исключаем $$x=0$$:
$$x\in(-2;0)\cup(0;3).$$
г) $$\ctg x+x^2+x>\ctg x+6$$
Область определения: $$x\ne \pi k,\; k\in \mathbb Z.$$
Получаем:
$$x^2+x-6>0.$$
Разложим на множители:
$$x^2+x-6=(x+3)(x-2),$$
тогда
$$x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty).$$
Исключаем точки $$x=\pi k$$:
$$x\in\bigl((-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\bigr)\setminus\{\pi k,\;k\in\mathbb Z\}.$$
Ответ
а) $$x\in\left(-1;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};3\right);$$ б) $$x\in(-\infty;-3)\cup\left(1;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};+\infty\right);$$ в) $$x\in(-2;0)\cup(0;3);$$ г) $$x\in\bigl((-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\bigr)\setminus\{\pi k,\;k\in\mathbb Z\}.$$
