Упр.11.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\operatorname{tg} x+x^2<\operatorname{tg} x+2x+3$$; б) $$\operatorname{tg} x+x^2+2x>\operatorname{tg} x+3$$; в) $$\operatorname{ctg} x+x^2<\operatorname{ctg} x+x+6$$; г) $$\operatorname{ctg} x+x^2+x>\operatorname{ctg} x+6$$.

1. а) $$\tg x+x^2<\tg x+2x+3$$

   Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

   Сократим одинаковые слагаемые:

   $$x^2-2x-3<0.$$

   Решаем квадратное неравенство:

   $$x^2-2x-3=(x-3)(x+1),$$

   откуда

   $$x\in(-1;3).$$

   С учётом ОДЗ исключаем точку $$x=\frac{\pi}{2}$$:

   $$x\in\left(-1;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};3\right).$$

2. б) $$\tg x+x^2+2x>\tg x+3$$

   Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

   Получаем:

   $$x^2+2x-3>0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+2x-3=(x+3)(x-1),$$

   тогда

   $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$

   Исключаем точку $$x=\frac{\pi}{2}$$:

   $$x\in(-\infty;-3)\cup\left(1;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};+\infty\right).$$

3. в) $$\ctg x+x^2<\ctg x+x+6$$

   Область определения: $$x\ne \pi k,\; k\in \mathbb Z.$$

   Сократим одинаковые слагаемые:

   $$x^2-x-6<0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-x-6=(x-3)(x+2),$$

   откуда

   $$x\in(-2;3).$$

   С учётом ОДЗ исключаем $$x=0$$:

   $$x\in(-2;0)\cup(0;3).$$

4. г) $$\ctg x+x^2+x>\ctg x+6$$

   Область определения: $$x\ne \pi k,\; k\in \mathbb Z.$$

   Получаем:

   $$x^2+x-6>0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^2+x-6=(x+3)(x-2),$$

   тогда

   $$x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty).$$

   Исключаем точки $$x=\pi k$$:

   $$x\in\bigl((-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\bigr)\setminus\{\pi k,\;k\in\mathbb Z\}.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-1;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};3\right);$$ б) $$x\in(-\infty;-3)\cup\left(1;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2};+\infty\right);$$ в) $$x\in(-2;0)\cup(0;3);$$ г) $$x\in\bigl((-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\bigr)\setminus\{\pi k,\;k\in\mathbb Z\}.$$