Упр.11.27 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) log1/31(4x -5)2 > log1/31(5x — 7)2.

а) $$\log_{31}(8x-9)^2>\log_{31}(9x-11)^2$$

Так как основание $$31>1,$$ то логарифмическая функция возрастает, значит неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} (8x-9)^2>(9x-11)^2,\\ 8x-9\ne 0,\\ 9x-11\ne 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \begin{aligned} (8x-9)^2-(9x-11)^2>0\\ \bigl((8x-9)-(9x-11)\bigr)\bigl((8x-9)+(9x-11)\bigr)>0\\ (2-x)(17x-20)>0\\ (x-2)(17x-20)<0. \end{aligned} $$

Отсюда

$$x\in\left(\frac{20}{17};2\right).$$

С учётом ограничений $$x\ne \frac98,$$ $$x\ne \frac{11}{9}$$ получаем:

$$x\in\left(\frac{20}{17};\frac{11}{9}\right)\cup\left(\frac{11}{9};2\right).$$

б) $$\log_{\frac13}(4x-5)^2>\log_{\frac13}(5x-7)^2$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ то логарифмическая функция убывает, значит неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} (4x-5)^2<(5x-7)^2,\\ 4x-5\ne 0,\\ 5x-7\ne 0. \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \begin{aligned} (4x-5)^2-(5x-7)^2<0\\ \bigl((4x-5)-(5x-7)\bigr)\bigl((4x-5)+(5x-7)\bigr)<0\\ (2-x)(9x-12)<0\\ (x-2)(3x-4)>0. \end{aligned} $$

Отсюда

$$x\in\left(-\infty;\frac43\right)\cup(2;+\infty).$$

С учётом ограничений $$x\ne \frac54,$$ $$x\ne \frac75$$ получаем:

$$x\in\left(-\infty;\frac43\right)\cup\left(2;+\infty\right),$$

при этом точки $$x=\frac54$$ и $$x=\frac75$$ исключаются, но они не входят в найденные промежутки.

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{20}{17};\frac{11}{9}\right)\cup\left(\frac{11}{9};2\right);$$ б) $$x\in\left(-\infty;\frac43\right)\cup(2;+\infty).$$