Упр.11.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.25

1. а) $$\log_{\frac{\sqrt{10}}{3}}(1-3x)<2$$

   Так как $$2=\log_{\frac{\sqrt{10}}{3}}\frac{10}{9},$$ а основание $$\frac{\sqrt{10}}{3}>1,$$ то

   $$ 1-3x<\frac{10}{9}, \qquad 1-3x>0 $$

   $$ x>-\frac{1}{27}, \qquad x<\frac{1}{3} $$

   Следовательно,
   $$ x\in\left(-\frac{1}{27};\frac{1}{3}\right). $$

2. б) $$\log_{\frac{\sqrt{6}}{3}}(2x-1)>2$$

   Так как $$2=\log_{\frac{\sqrt{6}}{3}}\frac{2}{3},$$ а основание $$\frac{\sqrt{6}}{3}<1,$$ то знак неравенства меняется:

   $$ 2x-1<\frac{2}{3}, \qquad 2x-1>0 $$

   $$ x<\frac{5}{6}, \qquad x>\frac{1}{2} $$

   Следовательно,
   $$ x\in\left(\frac{1}{2};\frac{5}{6}\right). $$

3. в) $$\log_{0,5}(x^2-1)>-2$$

   Так как $$-2=\log_{0,5}4,$$ а основание $$0,5<1,$$ то знак неравенства меняется:

   $$ x^2-1<4, \qquad x^2-1>0 $$

   $$ x^2<5 \Rightarrow x\in(-\sqrt5;\sqrt5) $$

   $$ x^2>1 \Rightarrow x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty) $$

   Следовательно,
   $$ x\in(-\sqrt5;-1)\cup(1;\sqrt5). $$

4. г) $$\log_{0,5}(x^2+1)<-1$$

   Так как $$-1=\log_{0,5}2,$$ а основание $$0,5<1,$$ то знак неравенства меняется:

   $$ x^2+1>2 $$

   $$ x^2>1 \Rightarrow x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty) $$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{1}{27};\frac{1}{3}\right)$$
б) $$x\in\left(\frac{1}{2};\frac{5}{6}\right)$$
в) $$x\in(-\sqrt5;-1)\cup(1;\sqrt5)$$
г) $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$