Упр.11.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
11.24 а) log25(x2 -7) > log25(x — 1);
б) log7(x2 — 4) > log7(3x + 6);
в) log1/7(x2 — 3х) > log1/7(2x — 4);
г) log1/25(x2-4x) > log1/25(2x-5).
а) Так как основание $$25>1$$, логарифмическая функция возрастает, поэтому
$$\log_{25}(x^2-7)>\log_{25}(x-1)\iff x^2-7>x-1.$$
С учётом области определения:
$$ \begin{cases} x^2-7>0,\\ x-1>0. \end{cases} $$
Решаем:
$$ x^2-x-6>0 \iff (x-3)(x+2)>0 \iff x\in(-\infty;-2)\cup(3;+\infty). $$
Пересекаем с условием $$x>1$$:
$$x\in(3;+\infty).$$
б) Основание $$7>1$$, значит
$$\log_7(x^2-4)>\log_7(3x+6)\iff x^2-4>3x+6.$$
С учётом ОДЗ:
$$ \begin{cases} x^2-4>0,\\ 3x+6>0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ x^2-3x-10>0 \iff (x-5)(x+2)>0 \iff x\in(-\infty;-2)\cup(5;+\infty). $$
Пересекаем с $$x>-2$$:
$$x\in(5;+\infty).$$
в) Основание $$\frac17<1$$, поэтому логарифмическая функция убывает и знак неравенства меняется:
$$\log_{1/7}(x^2-3x)>\log_{1/7}(2x-4)\iff x^2-3x<2x-4.$$
С учётом ОДЗ:
$$ \begin{cases} x^2-3x>0,\\ 2x-4>0. \end{cases} $$
Решаем:
$$ x^2-5x+4<0 \iff (x-1)(x-4)<0 \iff x\in(1;4). $$
Также $$x>2$$. Тогда
$$x\in(3;4).$$
г) Основание $$\frac1{25}<1$$, значит
$$\log_{1/25}(x^2-4x)>\log_{1/25}(2x-5)\iff x^2-4x<2x-5.$$
С учётом ОДЗ:
$$ \begin{cases} x^2-4x>0,\\ 2x-5>0. \end{cases} $$
Получаем:
$$ x^2-6x+5<0 \iff (x-1)(x-5)<0 \iff x\in(1;5). $$
И ещё $$x>\frac52$$. Следовательно,
$$x\in\left(\frac52;5\right).$$
Ответ
а) $$x\in(3;+\infty)$$; б) $$x\in(5;+\infty)$$; в) $$x\in(3;4)$$; г) $$x\in\left(\frac52;5\right)$$.
