Упр.11.23 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.23 Докажите утверждение: 1) о потенцировании логарифмического неравенства; 2) о приведении подобных слагаемых; 3) о применении формул. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 11-23 118

1. 1) О потенцировании логарифмического неравенства.

   Пусть $$x_0$$ — решение неравенства $$\log_a f(x) > \log_a g(x).$$ Тогда в точке $$x_0$$ существуют значения $$f(x_0)$$ и $$g(x_0)$$, а также их логарифмы. По свойству логарифмической функции:

   если $$0 < a < 1,$$ то из $$\log_a f(x_0) > \log_a g(x_0)$$ следует $$f(x_0) < g(x_0);$$
   если $$a > 1,$$ то из $$\log_a f(x_0) > \log_a g(x_0)$$ следует $$f(x_0) > g(x_0).$$

   Значит, любое решение неравенства $$\log_a f(x) > \log_a g(x)$$ является решением неравенства $$f(x) < g(x)$$ при $$0 < a < 1$$ и неравенства $$f(x) > g(x)$$ при $$a > 1.$$

   Докажем обратное. Если $$x_1$$ — решение неравенства $$f(x) < g(x)$$ при $$0 < a < 1$$ или $$f(x) > g(x)$$ при $$a > 1,$$ то, так как логарифмическая функция монотонна, получаем соответственно

   $$\log_a f(x_1) > \log_a g(x_1), \quad 0 < a < 1,$$
   $$\log_a f(x_1) > \log_a g(x_1), \quad a > 1.$$

   Следовательно, любое решение соответствующего неравенства для $$f(x)$$ и $$g(x)$$ является решением исходного логарифмического неравенства.

   Если неравенство $$\log_a f(x) > \log_a g(x)$$ не имеет решений, то не имеет решений и соответствующее неравенство для $$f(x)$$ и $$g(x)$$, иначе из решения последнего по свойству логарифмов получилось бы решение первого. Обратно доказывается аналогично.

2. 2) О приведении подобных слагаемых.

   Пусть $$x_0$$ — решение неравенства

   $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)>0.$$

   Тогда в точке $$x_0$$ существуют значения $$f(x_0)$$ и $$\varphi(x_0)$$, причём

   $$\varphi(x_0)+(-\varphi(x_0))=0.$$

   Следовательно,

   $$f(x_0)+\varphi(x_0)-\varphi(x_0)=f(x_0)>0.$$

   Значит, любое решение неравенства $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)>0$$ является решением неравенства $$f(x)>0.$$

   Докажем обратное. Если $$x_1$$ — решение неравенства $$f(x)>0,$$ то

   $$f(x_1)+\varphi(x_1)-\varphi(x_1)=f(x_1)>0,$$

   то есть $$x_1$$ является решением неравенства $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)>0.$$

   Если неравенство $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)>0$$ не имеет решений, то не имеет решений и неравенство $$f(x)>0,$$ иначе любое его решение было бы решением исходного неравенства. Обратно — аналогично.

3. 3) О применении формул.

   Если точка $$x_0$$ является решением исходного неравенства, то в этой точке справедлива используемая формула. Значит, $$x_0$$ будет решением неравенства, где эта формула применена.

   Знак неравенства при этом не изменится, так как обе части формулы определены на одном и том же множестве $$M,$$ то есть на этом множестве формула тождественна.

Ответ

Утверждения доказаны.