Упр.11.22 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.22

а) Рассмотрим неравенство $$\sin x\,(x^2-x)>0.$$

Так как $$\sin x>0$$ на промежутках

$$x\in(2\pi n;\,\pi+2\pi n),\quad n\in\mathbb Z,$$

то на этих промежутках можно разделить неравенство на положительное число $$\sin x$$:

$$x^2-x>0.$$

Решаем:

$$x(x-1)>0 \quad \Rightarrow \quad x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$

Пересекаем с промежутком, где $$\sin x>0$$. Получаем

$$x\in(0;1).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\cos x\,(x^2+x)>0.$$

Так как $$\cos x>0$$ на промежутках

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$

то на этих промежутках делим неравенство на положительное число $$\cos x$$:

$$x^2+x>0.$$

Решаем:

$$x(x+1)>0 \quad \Rightarrow \quad x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty).$$

Пересечение с промежутком, где $$\cos x>0$$, даёт

$$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ

а) $$x\in(0;1)$$

б) $$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$