Упр.11.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.21

1. а) На множестве $$M=(-\infty;3)\cup(3;5)\cup(5;+\infty)$$ функция $$\varphi(x)=|x-5|\cdot|x-3|>0.$$

   Умножим неравенство на $$\varphi(x)$$:

   $$2(x-3)^2<(x-5)^2$$

   $$2(x^2-6x+9)<x^2-10x+25$$

   $$x^2-2x-7<0$$

   $$x\in(1-\sqrt{8};\,1+\sqrt{8})$$

   С учётом множества $$M$$ исключаем точку $$x=3$$.

   $$x\in(1-\sqrt{8};\,3)\cup(3;\,1+\sqrt{8})$$

2. б) На множестве $$M=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$ функция $$\varphi(x)=|x+1|\cdot(|x+3|+|x+1|)>0.$$

   Умножим неравенство на $$\varphi(x)$$:

   $$2(x+1)^2<(x+3)^2-(x-1)^2$$

   $$2x^2+4x+2<x^2+6x+9-x^2+2x-1$$

   $$2x^2-4x-6<0$$

   $$x^2-2x-3<0$$

   $$x\in(-1;3)$$

   Все решения входят в множество $$M$$.

3. в) На множестве $$M=(-\infty;-3)\cup(-3;-2)\cup(-2;+\infty)$$ функция $$\varphi(x)=|x+3|\cdot|x+2|>0.$$

   Умножим неравенство на $$\varphi(x)$$:

   $$2(x+2)^2<(x+3)^2$$

   $$2x^2+8x+8<x^2+6x+9$$

   $$x^2+2x-1<0$$

   $$x\in(-1-\sqrt{2};\,-1+\sqrt{2})$$

   Из этого промежутка исключаем точку $$x=-2$$.

   $$x\in(-1-\sqrt{2};\,-2)\cup(-2;\,-1+\sqrt{2})$$

4. г) На множестве $$M=(-\infty;-5)\cup(-5;+\infty)$$ функция $$\varphi(x)=(|x+3|+|x+7|)\cdot|x+5|>0.$$

   Умножим неравенство на $$\varphi(x)$$:

   $$2(x+5)^2<(x+3)^2-(x+7)^2$$

   $$2x^2+20x+50<x^2+6x+9-x^2-14x-49$$

   $$x^2+14x+45<0$$

   $$x\in(-9;\,-5)$$

   Все решения входят в множество $$M$$.

Ответ

а) $$x\in(1-\sqrt{8};\,3)\cup(3;\,1+\sqrt{8})$$

б) $$x\in(-1;\,3)$$

в) $$x\in(-1-\sqrt{2};\,-2)\cup(-2;\,-1+\sqrt{2})$$

г) $$x\in(-9;\,-5)$$