Упр.11.20 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.20

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2}{1-\cos x}<\frac{x+2}{1-\cos x}.$$

Все его решения должны удовлетворять условию

$$1-\cos x\ne 0,$$

то есть

$$\cos x\ne 1,\qquad x\ne 2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

На множестве таких значений $$x$$ величина $$1-\cos x$$ положительна, поэтому можно умножить обе части неравенства на $$1-\cos x$$ без изменения знака:

$$x^2<x+2.$$

Решим полученное неравенство:

$$x^2-x-2<0,$$

$$\left(x+1\right)\left(x-2\right)<0,$$

откуда

$$x\in(-1;2).$$

Теперь исключим точки, в которых знаменатель исходного неравенства равен нулю. Из интервала $$(-1;2)$$ нужно убрать только $$x=0$$, так как $$0=2\pi\cdot 0$$.

Получаем:

$$x\in(-1;0)\cup(0;2).$$