Упр.11.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

11.18

1. а) Область определения:

   $$x^2-16>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty).$$

   На этой области $$\sqrt{x^2-16}>0,$$ поэтому можно возвести неравенство в квадрат:

   $$\sqrt{x^2-16}>5-x \;\;\Longrightarrow\;\; x^2-16>(5-x)^2.$$

   $$x^2-16>x^2-10x+25 \;\;\Longrightarrow\;\; 10x>41 \;\;\Longrightarrow\;\; x>\frac{41}{10}.$$

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x\in(4;+\infty).$$

2. б) Область определения:

   $$5x-x^2>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in(0;5).$$

   На этой области $$\sqrt{5x-x^2}>0,$$ значит:

   $$\sqrt{5x-x^2}>x-3 \;\;\Longrightarrow\;\; 5x-x^2>(x-3)^2.$$

   $$5x-x^2>x^2-6x+9 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x^2-11x+9<0.$$

   $$2x^2-11x+9=0,$$

   $$D=121-72=49,$$

   $$x=\frac{11\pm7}{4}, \quad x_1=1,\; x_2=\frac92.$$

   Тогда

   $$2x^2-11x+9<0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in\left(1;\frac92\right).$$

   С учётом ОДЗ:

   $$x\in\left(1;\frac92\right).$$

3. в) Область определения:

   $$3x-x^2-2>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in(1;2).$$

   На этой области $$\sqrt{3x-x^2-2}>0,$$ поэтому:

   $$\sqrt{3x-x^2-2}>3-x \;\;\Longrightarrow\;\; 3x-x^2-2>(3-x)^2.$$

   $$3x-x^2-2&gt{x^2-6x+9 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x^2-9x+11<0.}$$

   Дискриминант:

   $$D=81-88=-7<0.$$

   Так как старший коэффициент положителен, то $$2x^2-9x+11>0$$ при всех $$x,$$ следовательно, неравенство решений не имеет.

4. г) Область определения:

   $$5-4x-x^2>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in(-5;1).$$

   На этой области $$\sqrt{5-4x-x^2}>0,$$ значит:

   $$\sqrt{5-4x-x^2}>3-x \;\;\Longrightarrow\;\; 5-4x-x^2>(3-x)^2.$$

   $$5-4x-x^2&gt{x^2-6x+9 \;\;\Longrightarrow\;\; 2x^2-2x+4<0.$$

   Но

   $$2x^2-2x+4=2\left(x-\frac12\right)^2+\frac72>0,$$

   поэтому решений нет.

Ответ

а) $$x\in(4;+\infty)$$; б) $$x\in\left(1;\frac92\right)$$; в) корней нет; г) корней нет.