Упр.11.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11.17 Докажите утверждение об умножении неравенства на функцию.

Подробный ответ

Пусть $$\varphi(x)>0$$ при всех допустимых значениях $$x$$.

1) Докажем, что если число $$x_0$$ является решением неравенства $$f(x)>g(x),$$ то оно является и решением неравенства $$f(x)\varphi(x)>g(x)\varphi(x).$$

Действительно, из $$f(x_0)>g(x_0)$$ и $$\varphi(x_0)>0$$ по свойству числовых неравенств получаем

$$f(x_0)\varphi(x_0)>g(x_0)\varphi(x_0).$$

Значит, каждое решение неравенства $$f(x)>g(x)$$ является решением неравенства $$f(x)\varphi(x)>g(x)\varphi(x).$$

2) Докажем обратное: если число $$x_1$$ является решением неравенства $$f(x)\varphi(x)>g(x)\varphi(x),$$ то оно является и решением неравенства $$f(x)>g(x).$$

Так как $$\varphi(x_1)>0,$$ можно разделить обе части неравенства на $$\varphi(x_1)$$, не изменяя знак:

$$f(x_1)>g(x_1).$$

Следовательно, каждое решение неравенства $$f(x)\varphi(x)>g(x)\varphi(x)$$ является решением неравенства $$f(x)>g(x).$$

Итак, множества решений неравенств $$f(x)>g(x)$$ и $$f(x)\varphi(x)>g(x)\varphi(x)$$ совпадают.

Аналогично доказывается утверждение для неравенств $$f(x)<g(x),$$ если $$\varphi(x)>0,$$ и для случаев умножения на отрицательную функцию с учетом изменения знака неравенства.