Упр.11.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) 1-cosx > |sinx|;
в) 1-sinx < |cosx|;
г) 1+sinx < |sinx|.
а) $$1+\sin x>|\cos x|$$
Так как $$1+\sin x\ge 0$$ и $$|\cos x|\ge 0,$$ возведём неравенство в квадрат:
$$ (1+\sin x)^2>\cos^2 x $$
$$ 1+2\sin x+\sin^2 x>\cos^2 x $$
$$ 1+2\sin x+\sin^2 x>1-\sin^2 x $$
$$ 2\sin^2 x+2\sin x>0 $$
$$ 2\sin x(\sin x+1)>0 $$
Отсюда:
$$ \sin x>0 \quad \text{и} \quad \sin x+1>0 $$
или
$$ \sin x<0 \quad \text{и} \quad \sin x+1<0 $$
Второй случай невозможен, так как $$\sin x<-1$$ не бывает. Значит,
$$ \sin x>0 $$
Следовательно,
$$ x\in(2\pi k;\,\pi+2\pi k),\ k\in\mathbb Z. $$
б) $$1-\cos x>|\sin x|$$
Обе части неотрицательны, возведём в квадрат:
$$ (1-\cos x)^2>\sin^2 x $$
$$ 1-2\cos x+\cos^2 x>\sin^2 x $$
$$ 1-2\cos x+\cos^2 x>1-\cos^2 x $$
$$ 2\cos^2 x-2\cos x>0 $$
$$ 2\cos x(\cos x-1)>0 $$
Получаем систему:
$$ \cos x>0,\ \cos x-1>0 $$
или
$$ \cos x<0,\ \cos x-1<0 $$
Первый случай невозможен, так как $$\cos x>1$$ не бывает. Значит,
$$ \cos x<0 $$
Следовательно,
$$ x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z. $$
в) $$1-\sin x<|\cos x|$$
Возведём в квадрат:
$$ (1-\sin x)^2<\cos^2 x $$
$$ 1-2\sin x+\sin^2 x<\cos^2 x $$
$$ 1-2\sin x+\sin^2 x<1-\sin^2 x $$
$$ 2\sin^2 x+2\sin x<0 $$
$$ 2\sin x(\sin x+1)<0 $$
Отсюда:
$$ -1<\sin x<0 $$
Так как $$\sin x\in[-1,1],$$ получаем просто
$$ \sin x<0 $$
Следовательно,
$$ x\in(\pi+2\pi k;\,2\pi+2\pi k),\ k\in\mathbb Z. $$
г) $$1+\sin x<|\sin x|$$
Рассмотрим случаи.
Если $$\sin x\ge 0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и неравенство принимает вид
$$ 1+\sin x<\sin x, $$
что невозможно.
Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и тогда
$$ 1+\sin x<-\sin x $$
$$ 1+2\sin x<0 $$
$$ \sin x<-\frac12. $$
Значит,
$$ x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z. $$
Ответ
а) $$x\in(2\pi k;\,\pi+2\pi k),\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
в) $$x\in(\pi+2\pi k;\,2\pi+2\pi k),\ k\in\mathbb Z$$;
г) $$x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2\pi k;\,\frac{11\pi}{6}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$.
