Упр.11.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) корень (6+3x) > |2x+1|;
в) корень (5x-1) > |3x-1|;
г) корень (7x+2) > |x+2|.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{6x-3}<|x+1|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$6x-3<(x+1)^2$$
С учётом области определения $$6x-3\ge 0$$ получаем систему:
$$ \begin{cases} 6x-3<x^2+2x+1,\\ 6x-3\ge 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x^2-4x+4>0,\\ x\ge \frac12 \end{cases} $$
Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ то $$x\ne 2.$$
Следовательно,
$$x\in\left[\frac12;2\right)\cup(2;+\infty).$$
б) $$\sqrt{6+3x}>|2x+1|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$6+3x>(2x+1)^2$$
С учётом области определения $$6+3x\ge 0$$ получаем систему:
$$ \begin{cases} 6+3x>4x^2+4x+1,\\ 6+3x\ge 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 4x^2+x-5<0,\\ x\ge -2 \end{cases} $$
Корни квадратного трёхчлена:
$$4x^2+x-5=0,\qquad x=-\frac54,\; x=1.$$
Тогда
$$x\in\left(-\frac54;1\right).$$
С учётом ОДЗ получаем:
$$x\in\left[-\frac54;1\right).$$
в) $$\sqrt{5x-1}>|3x-1|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5x-1>(3x-1)^2$$
С учётом области определения $$5x-1\ge 0$$ получаем систему:
$$ \begin{cases} 5x-1>9x^2-6x+1,\\ 5x-1\ge 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 9x^2-11x+2<0,\\ x\ge \frac15 \end{cases} $$
Корни уравнения $$9x^2-11x+2=0$$:
$$x=\frac29,\; x=1.$$
Значит,
$$x\in\left(\frac29;1\right).$$
С учётом ОДЗ:
$$x\in\left[\frac29;1\right).$$
г) $$\sqrt{7x+2}>|x+2|$$
Возведём обе части в квадрат:
$$7x+2>(x+2)^2$$
С учётом области определения $$7x+2\ge 0$$ получаем систему:
$$ \begin{cases} 7x+2>x^2+4x+4,\\ 7x+2\ge 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x^2-3x+2<0,\\ x\ge -\frac27 \end{cases} $$
Так как $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2),$$ то
$$x\in(1;2).$$
Это множество удовлетворяет и ОДЗ.