Упр.11 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 11. (МГУ, геол. ф-т). a) tg8x, если tg2x = 1/4; б) tg4x, если tgx = 1/3.

Подробный ответ

а) Используем формулу двойного угла:

$$\tg 4x=\frac{2\tg 2x}{1-\tg^2 2x}$$

При $$\tg 2x=\frac14$$ получаем:

$$\tg 4x=\frac{2\cdot \frac14}{1-\left(\frac14\right)^2}=\frac{\frac12}{1-\frac1{16}}=\frac{\frac12}{\frac{15}{16}}=\frac{8}{15}.$$

Теперь найдём $$\tg 8x$$:

$$\tg 8x=\frac{2\tg 4x}{1-\tg^2 4x}=\frac{2\cdot \frac{8}{15}}{1-\left(\frac{8}{15}\right)^2}=\frac{\frac{16}{15}}{1-\frac{64}{225}}=\frac{\frac{16}{15}}{\frac{161}{225}}=\frac{240}{161}.$$

б) Сначала найдём $$\tg 2x$$ по формуле:

$$\tg 2x=\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}$$

При $$\tg x=\frac13$$ имеем:

$$\tg 2x=\frac{2\cdot \frac13}{1-\left(\frac13\right)^2}=\frac{\frac23}{1-\frac19}=\frac{\frac23}{\frac89}=\frac34.$$

Тогда

$$\tg 4x=\frac{2\tg 2x}{1-\tg^2 2x}=\frac{2\cdot \frac34}{1-\left(\frac34\right)^2}=\frac{\frac32}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac32}{\frac{7}{16}}=\frac{24}{7}.$$