Упр.109 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

a) cos х + cos 5x — cos 2x = 0, принадлежащие отрезку [-пи; пи];
б) ctg 2x/ctgx + ctgx/ctg2x + 2=0, принадлежащие отрезку [0; 2пи].

а) Преобразуем левую часть по формуле суммы косинусов:

$$ \cos x+\cos 5x-\cos 2x=0 $$

$$ (\cos x+\cos 5x)-\cos 2x=0 $$

$$ 2\cos 3x\cos 2x-\cos 2x=0 $$

$$ \cos 2x\,(2\cos 3x-1)=0 $$

Отсюда:

$$ \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=\frac12 $$

1) $$\cos 2x=0$$, тогда

$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z $$

$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2} $$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

$$ x=-\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4} $$

2) $$\cos 3x=\frac12$$, тогда

$$ 3x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z $$

$$ x=\pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3} $$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

$$ x=-\frac{7\pi}{9},\ -\frac{5\pi}{9},\ \frac{\pi}{9},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{7\pi}{9} $$

Итак, для пункта а):

$$ x\in\left\{-\frac{3\pi}{4},-\frac{7\pi}{9},-\frac{5\pi}{9},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{9},\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{9},\frac{7\pi}{9},\frac{3\pi}{4}\right\} $$

б) Рассмотрим уравнение

$$ \frac{\ctg 2x}{\ctg x}+\frac{\ctg x}{\ctg 2x}+2=0 $$

Область допустимых значений:

$$ \ctg x\ne 0,\quad \ctg 2x\ne 0 $$

Положим

$$ a=\frac{\ctg 2x}{\ctg x} $$

Тогда уравнение принимает вид

$$ a+\frac1a+2=0 $$

$$ a^2+2a+1=0 $$

$$ (a+1)^2=0 $$

$$ a=-1 $$

Значит,

$$ \frac{\ctg 2x}{\ctg x}=-1 $$

$$ \ctg 2x=-\ctg x $$

Переходим к синусам и косинусам:

$$ \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=-\frac{\cos x}{\sin x} $$

$$ \cos 2x\sin x+\sin 2x\cos x=0 $$

$$ \sin 3x=0 $$

$$ 3x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z $$

$$ x=\frac{\pi k}{3} $$

С учётом ОДЗ исключаем значения, при которых $$\ctg x=0$$ или $$\ctg 2x=0$$, то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$ и $$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$.

На отрезке $$[0;2\pi]$$ остаются корни:

$$ x=0,\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ 2\pi $$

Ответ

а) $$x\in\left\{-\frac{3\pi}{4},-\frac{7\pi}{9},-\frac{5\pi}{9},-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{9},\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{9},\frac{7\pi}{9},\frac{3\pi}{4}\right\}$$

б) $$x=0,\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ 2\pi$$