Упр.108 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Найдите все решения уравнения 4 sin4 х + sin2 2x = 2 ctg2 х, удовлетворяющие неравенству cosx < -1/2.

а) Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ и обозначим $$t=\cos x.$$ Тогда уравнение приводится к виду

$$3\cos^4 x+\cos^2 x-2=0.$$

Получаем квадратное уравнение относительно $$t$$:

$$3t^2+t-2=0.$$

Решаем его:

$$D=1+24=25,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{6},$$

откуда

$$t_1=\frac23,\qquad t_2=-1.$$

Значит,

$$\cos x=\frac23 \quad \text{или} \quad \cos x=-1.$$

С учётом условия $$\cos x<\frac12$$ подходит только

$$\cos x=-1.$$

Тогда

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и преобразуем уравнение:

$$4\sin^4 x+\sin^2 2x=2\ctg^2 x.$$

Так как $$\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x},$$ то при $$\sin x\ne 0$$ имеем

$$4\sin^4 x+4\sin^2 x\cos^2 x=2\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}.$$

После упрощения получаем

$$2\sin^4 x+\sin^2 x-1=0.$$

Сделаем замену $$t=\sin^2 x$$:

$$2t^2+t-1=0.$$

Тогда

$$D=1+8=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4},$$

откуда

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-1.$$

Так как $$\sin^2 x\ge 0,$$ остаётся

$$\sin^2 x=\frac12,$$

то есть

$$\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

С учётом условия $$\cos x<-\frac12$$ подходят углы во II и III четвертях:

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$