Упр.107 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень 3 cos2x — 0,5cos(3пи/2 + 2x) = 0.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{3}\sin^2 x+0{,}5\sin(\pi+2x)=0.$$

Используем формулу:

$$\sin(\pi+2x)=-\sin 2x.$$

Тогда

$$\sqrt{3}\sin^2 x-0{,}5\sin 2x=0.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

$$\sqrt{3}\sin^2 x-\sin x\cos x=0.$$

Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

$$\sin x(\sqrt{3}\sin x-\cos x)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\sin x-\cos x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt{3}\sin x-\cos x=0 \Rightarrow \sqrt{3}\tan x=1 \Rightarrow \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Значит,

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{3}\cos^2 x+0{,}5\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=0.$$

Используем формулу:

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\sin 2x.$$

Тогда

$$\sqrt{3}\cos^2 x+0{,}5\sin 2x=0.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

$$\sqrt{3}\cos^2 x+\sin x\cos x=0.$$

Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

$$\cos x(\sqrt{3}\cos x+\sin x)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\cos x+\sin x=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt{3}\cos x+\sin x=0 \Rightarrow \tan x=-\sqrt{3}.$$

Значит,

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$