Упр.106 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 106 (МГУ, почв. ф-т). a) sin 2х = cos х; б) cos 2x = sin х. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 povtor/106 118

а) $$\sin 2x=\cos x$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$

Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

$$\cos x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

или

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$\cos 2x=\sin x$$

Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$\cos^2 x-\sin^2 x=\sin x$$

Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$1-\sin^2 x-\sin^2 x=\sin x$$

$$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$

Сделаем замену $$\sin x=t$$. Получаем:

$$2t^2+t-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$

$$t_1=\frac12,\quad t_2=-1$$

Значит,

$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-1$$

Тогда

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

или

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$