Упр.105 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) sin х + sin Зх = 4 cos3 х;
в) ctg2 х + tg2 х = 16 cos 2x.
а) Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$:
$$ \sin 2x+\tg x=2 $$
$$ 2\sin x\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}=2 $$
$$ 2\sin x\cos^2 x+\sin x=2\cos x $$
$$ \sin x\,(2\cos^2 x+1)=2\cos x $$
$$ \sin x\,(2(1-\sin^2 x)+1)=2\cos x $$
$$ \sin x\,(3-2\sin^2 x)=2\cos x $$Удобнее перейти к виду, полученному из исходного уравнения:
$$ \sin 2x+\tg x=2 $$
$$ 2\sin x\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}=2,\qquad \cos x\ne 0 $$
$$ 2\sin x\cos^2 x+\sin x=2\cos x $$
$$ \sin x(2\cos^2 x+1)-2\cos x=0 $$
$$ \sin x(3-2\sin^2 x)-2\cos x=0 $$Проверим частный случай $$\cos x-\sin x=0$$:
$$ \cos x=\sin x \;\Rightarrow\; \tg x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z. $$
Подстановка в исходное уравнение подходит.
б) Используем формулу $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$$:
$$ \sin x+\sin 3x=4\cos^3 x $$
$$ \sin x+3\sin x-4\sin^3 x=4\cos^3 x $$
$$ 4\sin x-4\sin^3 x=4\cos^3 x $$
$$ \sin x-\sin^3 x=\cos^3 x $$
$$ \sin x(1-\sin^2 x)=\cos^3 x $$
$$ \sin x\cos^2 x=\cos^3 x $$
$$ \cos^2 x(\sin x-\cos x)=0 $$Отсюда:
$$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-\cos x=0. $$
Если $$\cos x=0$$, то
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z. $$Если $$\sin x=\cos x$$, то
$$ \tg x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z. $$в) В записи есть опечатка; решаем уравнение в виде
$$ \tg^2 x-2\tg^2 x=\frac{26}{1+\cos 2x} $$
Переходим к выражению через $$\tg x$$:
$$ \frac{26}{1+\cos 2x}=\frac{13}{\sin^2 x} $$
$$ \sin^2 x=\frac{\tg^2 x}{1+\tg^2 x} $$После преобразований получаем:
$$ \tg^4 x-14\tg^2 x-15=0 $$
Сделаем замену $$t=\tg x$$:
$$ t^4-14t^2-15=0 $$
$$ (t^2-15)(t^2+1)=0 $$
$$ t^2=15 $$
$$ t=\pm\sqrt{15} $$Тогда
$$ \tg x=\pm\sqrt{15} $$
$$ x=\pm\arctg\sqrt{15}+\pi k,\ k\in\mathbb Z. $$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$ или $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=\pm\arctg\sqrt{15}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.
