Упр.104 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) cos 3x + sin 5x = sin х.

а)

$$\sin 4x+\sqrt{3}\sin 3x+\sin 2x=0$$

Используем формулу суммы синусов:
$$\sin 4x+\sin 2x=2\sin 3x\cos x.$$
Тогда
$$2\sin 3x\cos x+\sqrt{3}\sin 3x=0,$$
$$\sin 3x(2\cos x+\sqrt{3})=0.$$

Отсюда:
$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+\sqrt{3}=0.$$

1) $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos x+\sqrt{3}=0 \Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2},$$
$$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б)

$$\cos 3x+\sin 5x=\sin x$$

Перенесём $$\sin x$$ в левую часть:
$$\cos 3x+\sin 5x-\sin x=0.$$
Используем формулу:
$$\sin 5x-\sin x=2\cos 3x\sin 2x.$$
Тогда
$$\cos 3x+2\cos 3x\sin 2x=0,$$
$$\cos 3x(1+2\sin 2x)=0.$$

Отсюда:
$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad 1+2\sin 2x=0.$$

1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$

2) $$1+2\sin 2x=0 \Rightarrow \sin 2x=-\frac12.$$
Тогда
$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$