Упр.103 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin(0{,}5\pi+x)+\sin 2x=0$$; б) $$\cos(0{,}5\pi+x)+\sin 2x=0$$.

а)

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin 2x=0$$

По формуле приведения

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x$$

Тогда

$$\cos x+\sin 2x=0$$

$$\cos x+2\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(1+2\sin x)=0$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1+2\sin x=0$$

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

б)

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin 2x=0$$

По формуле приведения

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$$

Тогда

$$-\sin x+\sin 2x=0$$

$$-\sin x+2\sin x\cos x=0$$

$$\sin x(2\cos x-1)=0$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0$$

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$