Упр.102 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin 2x+\sqrt{2}\sin x=0$$. Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$.
   б) $$\sin 2x+\sqrt{3}\cos x=0$$. Укажите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;2\pi]$$.

а) $$\sin 2x+\sqrt2\sin x=0$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$2\sin x\cos x+\sqrt2\sin x=0$$

Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

$$\sin x\,(2\cos x+\sqrt2)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+\sqrt2=0$$

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем:

$$x=-\pi,\;0,\;\pi$$

$$2\cos x+\sqrt2=0 \Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

Тогда

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z$$

На данном отрезке подходят:

$$x=-\frac{3\pi}{4},\; \frac{3\pi}{4}$$

Итак, для пункта а):

$$x\in\left\{-\pi,\,-\frac{3\pi}{4},\,0,\,\frac{3\pi}{4},\,\pi\right\}$$

б) $$\sin 2x+\sqrt3\cos x=0$$

Подставим $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0$$

Вынесем $$\cos x$$:

$$\cos x\,(2\sin x+\sqrt3)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+\sqrt3=0$$

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

На отрезке $$[-\pi;2\pi]$$ получаем:

$$x=-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2}$$

$$2\sin x+\sqrt3=0 \Rightarrow \sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\; k\in\mathbb Z$$

На отрезке $$[-\pi;2\pi]$$ подходят:

$$x=-\frac{2\pi}{3},\;-\frac{\pi}{3},\;\frac{4\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3}$$

Итак, для пункта б):

$$x\in\left\{-\frac{2\pi}{3},\,-\frac{\pi}{3},\,-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2},\,\frac{4\pi}{3},\,\frac{3\pi}{2},\,\frac{5\pi}{3}\right\}$$

Ответ

а) $$-\pi,\,-\frac{3\pi}{4},\,0,\,\frac{3\pi}{4},\,\pi$$

б) $$-\frac{2\pi}{3},\,-\frac{\pi}{3},\,-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2},\,\frac{4\pi}{3},\,\frac{3\pi}{2},\,\frac{5\pi}{3}$$