Упр.101 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

101 a) sin 2x = корень 3 соsx;
б) sin 2x = корень 2 cos x.

1. а) $$\sin 2x=\sqrt{3}\cos x$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0$$

   $$\cos x(2\sin x-\sqrt{3})=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\sqrt{3}=0$$

   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

   $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

   При $$\cos x=0$$ исходное уравнение выполняется, поэтому все найденные решения подходят.

2. б) $$\sin 2x=\sqrt{2}\cos x$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0$$

   $$\cos x(2\sin x-\sqrt{2})=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\sqrt{2}=0$$

   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

   $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

   При $$\cos x=0$$ исходное уравнение выполняется, поэтому все найденные решения подходят.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$