Упр.10.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt{2-2\sin\frac{x}{2}}=1$$; б) $$\sqrt{2\cos 3x+2}=1$$.

а) $$\sqrt{2-2\sin\frac{x}{2}}=1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2-2\sin\frac{x}{2}=1,$$

$$2\sin\frac{x}{2}=1,$$

$$\sin\frac{x}{2}=\frac12.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Умножим на 2:

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{3}+4\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что оба семейства решений подходят.

б) $$\sqrt{2\cos 2x+2}=1.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2\cos 2x+2=1,$$

$$\cos 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что все найденные значения подходят.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi k,\ \frac{5\pi}{3}+4\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$