Упр.10.6 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$\sqrt[4]{x^2-5}=\sqrt[4]{5x+9}$$; б) $$\sqrt[4]{2x^2-1}=\sqrt[4]{3x-2}$$; в) $$\sqrt{3x^2-13}=\sqrt{5x-1}$$; г) $$\sqrt{4x^2-11}=\sqrt{13x+31}$$.

1. а) $$\sqrt[4]{x^2-5}=\sqrt[4]{5x+9}$$

   Так как корни четвёртой степени равны, то их подкоренные выражения должны быть неотрицательны и равны:

   $$\begin{cases} x^2-5\ge 0,\\ 5x+9\ge 0,\\ x^2-5=5x+9. \end{cases}$$

   Решим уравнение:

   $$x^2-5x-14=0$$
   $$(x-7)(x+2)=0$$
   $$x=7 \text{ или } x=-2.$$

   Проверим условия:

   $$x=7$$ подходит, а $$x=-2$$ не подходит, так как $$5x+9<0$$.

2. б) $$\sqrt[4]{2x^2-1}=\sqrt[4]{3x-2}$$

   $$\begin{cases} 2x^2-1\ge 0,\\ 3x-2\ge 0,\\ 2x^2-1=3x-2. \end{cases}$$

   Из уравнения получаем:

   $$2x^2-3x+1=0$$
   $$(2x-1)(x-1)=0$$
   $$x=\frac12 \text{ или } x=1.$$

   С учётом условия $$3x-2\ge 0$$ подходит только $$x=1$$.

3. в) $$\sqrt{3x^2-13}=\sqrt{5x-1}$$

   $$\begin{cases} 3x^2-13\ge 0,\\ 5x-1\ge 0,\\ 3x^2-13=5x-1. \end{cases}$$

   Решим уравнение:

   $$3x^2-5x-12=0$$
   $$(3x+4)(x-3)=0$$
   $$x=-\frac43 \text{ или } x=3.$$

   Проверка условий показывает, что подходит только $$x=3$$.

4. г) $$\sqrt{4x^2-11}=\sqrt{13x+31}$$

   $$\begin{cases} 4x^2-11\ge 0,\\ 13x+31\ge 0,\\ 4x^2-11=13x+31. \end{cases}$$

   Решим уравнение:

   $$4x^2-13x-42=0$$
   $$(4x+7)(x-6)=0$$
   $$x=-\frac74 \text{ или } x=6.$$

   Оба корня удовлетворяют области допустимых значений.

Ответ

а) $$x=7$$; б) $$x=1$$; в) $$x=3$$; г) $$x=-\frac74,\ 6$$.