Упр.10.53 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$3\operatorname{tg}^2\left(\pi x-\frac{\pi}{8}\right)=1,\quad \left(\frac{3}{2};3\right)$$;
   б) $$3\cos 2x-5\cos x=1,\quad [0;2\pi]$$.

а) $$3\tg^2\left(\pi x-\frac{\pi}{8}\right)=1$$

Тогда

$$\tg^2\left(\pi x-\frac{\pi}{8}\right)=\frac13,$$

откуда

$$\tg\left(\pi x-\frac{\pi}{8}\right)=\frac{1}{\sqrt3}\quad \text{или}\quad \tg\left(\pi x-\frac{\pi}{8}\right)=-\frac{1}{\sqrt3}.$$

Решаем каждое уравнение:

$$\pi x-\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$\pi x-\frac{\pi}{8}=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=\frac{7}{24}+k,\quad k\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac{1}{24}+k,\quad k\in\mathbb Z.$$

С учётом промежутка $$\left(\frac32;3\right)$$ получаем:

$$x=1\frac{23}{24},\quad x=2\frac{7}{24},\quad x=2\frac{23}{24}.$$

б) $$3\cos 2x-5\cos x=1,\qquad x\in[0;2\pi].$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$3(2\cos^2 x-1)-5\cos x=1,$$

$$6\cos^2 x-5\cos x-4=0.$$

Обозначим $$t=\cos x$$. Тогда

$$6t^2-5t-4=0.$$

$$D=25+96=121,$$

$$t=\frac{5\pm 11}{12}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac43,\quad t_2=-\frac12.$$

Значение $$\cos x=\frac43$$ невозможно, так как $$|\cos x|\le 1.$$

Остаётся

$$\cos x=-\frac12.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ это даёт

$$x=\frac{2\pi}{3},\quad x=\frac{4\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$1\frac{23}{24},\ \frac{7}{24},\ 2\frac{23}{24}.$$

б) $$\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}.$$