Упр.10.52 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$(x-\log_3 75)(x-\log_2 22)=0,\quad [3;4]$$; б) $$(x-\log_3 17)(x-\log_2 71)=0,\quad [4;5]$$.

а) Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю:

$$(x-\log_3 75)(x-\log_2 22)=0$$

Отсюда

$$x-\log_3 75=0 \quad \text{или} \quad x-\log_2 22=0$$

то есть

$$x=\log_3 75 \quad \text{или} \quad x=\log_2 22$$

Проверим, какое из этих чисел принадлежит отрезку $$[3;4]$$:

$$\log_2 2^4<\log_2 22<\log_2 2^5$$

значит, $$4<\log_2 22<5$$, поэтому $$\log_2 22 \notin [3;4]$$.

Далее

$$\log_3 3^3<\log_3 75<\log_3 3^4$$

значит, $$3<\log_3 75<4$$, то есть $$\log_3 75 \in [3;4]$$.

Следовательно, подходит только одно значение:

$$x=\log_3 75$$

б)

$$(x-\log_3 17)(x-\log_2 71)=0$$

Тогда

$$x=\log_3 17 \quad \text{или} \quad x=\log_2 71$$

Проверим принадлежность отрезку $$[4;5]$$:

$$\log_3 3^2<\log_3 17<\log_3 3^3$$

значит, $$2<\log_3 17<3$$, поэтому $$\log_3 17 \notin [4;5]$$.

А для второго корня:

$$\log_2 2^6<\log_2 71<\log_2 2^7$$

значит, $$6<\log_2 71<7$$, поэтому $$\log_2 71 \notin [4;5]$$.

Следовательно, на отрезке $$[4;5]$$ решений нет.

Ответ

а) $$x=\log_3 75$$; б) решений нет.