Упр.10.51 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) x4+x3+x2-14x=0, [3;7].

а) $$x^4+x^3+x^2-3x=0,\quad [-2;0].$$

Вынесем общий множитель $$x$$:

$$x(x^3+x^2+x-3)=0.$$

Проверим целые корни многочлена в скобках. При $$x=1$$ получаем:

$$1+1+1-3=0,$$

значит, $$x=1$$ — корень. Тогда

$$x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3).$$

Следовательно,

$$x(x-1)(x^2+2x+3)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=1 \quad \text{или} \quad x^2+2x+3=0.$$

Уравнение $$x^2+2x+3=0$$ действительных корней не имеет, так как

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot 3=-8<0.$$

На отрезке $$[-2;0]$$ лежит только корень $$x=0$$.

б) $$x^4+x^3+x^2-14x=0,\quad [3;7].$$

Вынесем $$x$$ за скобки:

$$x(x^3+x^2+x-14)=0.$$

Проверим корень $$x=2$$:

$$8+4+2-14=0,$$

значит,

$$x^3+x^2+x-14=(x-2)(x^2+3x+7).$$

Тогда

$$x(x-2)(x^2+3x+7)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=2 \quad \text{или} \quad x^2+3x+7=0.$$

Уравнение $$x^2+3x+7=0$$ действительных корней не имеет, так как

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 7=-19<0.$$

На отрезке $$[3;7]$$ корней нет.

Ответ

а) $$0$$; б) корней нет.