Упр.10.50 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) |x2-2x-8| = x+2, [0;4].

а) На отрезке $$[3;5]$$ выражение $$x^2-3x+2$$ положительно, значит

$$|x^2-3x+2|=x^2-3x+2.$$

Тогда уравнение равносильно

$$x^2-3x+2=2x-2.$$

Решим его:

$$x^2-5x+4=0$$

$$\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0.$$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=4$$. На отрезке $$[3;5]$$ подходит только $$x=4$$.

б) На отрезке $$[0;4]$$ выражение $$x^2-2x-8$$ меняет знак, поэтому рассмотрим уравнение по определению модуля:

$$|x^2-2x-8|=x+2.$$

Так как $$x+2\ge 0$$ на $$[0;4]$$, получаем две системы:

$$ \begin{cases} x^2-2x-8=x+2,\\ x+2\ge 0 \end{cases} \qquad \begin{cases} x^2-2x-8=-(x+2),\\ x+2\ge 0 \end{cases} $$

1) $$x^2-3x-10=0$$

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)=0,$$

откуда $$x=5$$ или $$x=-2$$.

2) $$x^2-x-6=0$$

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0,$$

откуда $$x=3$$ или $$x=-2$$.

С учётом отрезка $$[0;4]$$ подходит только $$x=3$$.

Ответ

а) $$x=4$$; б) $$x=3$$.