Упр.10.49 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 x+\sin 2x-3\cos^2 x=0,\quad \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$; б) $$5\sin^2 x-2\sin 2x-\cos^2 x=0,\quad \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$.

а) $$\sin^2 x+\sin 2x-3\cos^2 x=0,\qquad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0.$$

Так как на промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\cos x\neq 0$$, разделим уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+2\tg x-3=0.$$

Положим $$\tg x=t$$. Тогда

$$t^2+2t-3=0,$$

$$t_1=1,\qquad t_2=-3.$$

Отсюда

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-3.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=-\arctg 3.$$

б) $$5\sin^2 x-2\sin 2x-\cos^2 x=0,\qquad x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

Подставим $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$5\sin^2 x-4\sin x\cos x-\cos^2 x=0.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$5\tg^2 x-4\tg x-1=0.$$

Пусть $$\tg x=t$$. Тогда

$$5t^2-4t-1=0,$$

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac15.$$

Следовательно,

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac15.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем:

$$x=\frac{\pi}{4},\qquad x=-\arctg\frac15.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4},\ -\arctg 3.$$

б) $$x=\frac{\pi}{4},\ -\arctg\frac15.$$