Упр.10.48 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 10.48. Найдите все решения уравнения, принадлежащие указанному промежутку:
   
   а) $$\sin 2x+2\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3},\quad (0;\pi);$$
   
   б) $$\sin 2x-2\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3},\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

а) Преобразуем уравнение:

$$\sin 2x+2\sin x-\sqrt3\cos x=\sqrt3$$

$$2\sin x\cos x+2\sin x-\sqrt3(\cos x+1)=0$$

$$2\sin x(\cos x+1)-\sqrt3(\cos x+1)=0$$

$$(\cos x+1)(2\sin x-\sqrt3)=0$$

Отсюда

$$\cos x+1=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\sqrt3=0.$$

1) $$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$(0;\pi)$$ таких решений нет.

2) $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$

или

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$(0;\pi)$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3}.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$\sin 2x-2\sin x+\sqrt3\cos x=\sqrt3$$

$$2\sin x\cos x-2\sin x+\sqrt3\cos x-\sqrt3=0$$

$$2\sin x(\cos x-1)+\sqrt3(\cos x-1)=0$$

$$(\cos x-1)(2\sin x+\sqrt3)=0$$

Отсюда

$$\cos x-1=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+\sqrt3=0.$$

1) $$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем $$x=0.$$

2) $$\sin x=-\frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$

или

$$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ подходит только

$$x=-\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3}.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{3},\ 0.$$