Упр.10.47 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$\frac{x^2-a^2}{x-4}=0$$ имеет единственный корень?

Рассмотрим уравнение

$$\frac{x^2-a^2}{x-4}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\begin{cases} x^2-a^2=0,\\ x-4\ne 0. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем

$$x^2-a^2=(x-a)(x+a)=0,$$

значит, $$x=a$$ или $$x=-a.$$

Теперь нужно, чтобы среди этих корней после исключения значения $$x=4$$ остался ровно один корень.

• Если $$a=0,$$ то единственный корень уравнения $$x^2=0$$ равен $$x=0,$$ и он подходит.
• Если $$a\ne 0,$$ то корни равны $$x=a$$ и $$x=-a.$$ Чтобы остался только один корень, один из них должен быть равен $$4$$, а другой — не равен $$4.$$

Это возможно при

$$a=4 \quad \text{или} \quad a=-4.$$

Итак, уравнение имеет единственный корень при $$a=-4,\,0,\,4.$$

Ответ

$$a=-4,\ 0,\ 4.$$