Упр.10.45 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.45

1. а)

   $$1-x^2>0 \;\Longrightarrow\; -1<x<1,$$
   $$\sin x+1\ne 0 \;\Longrightarrow\; \sin x\ne -1 \;\Longrightarrow\; x\ne -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
   На промежутке $$(-1;1)$$ уравнение сводится к системе
   $$ \begin{cases} 1-x^2=1,\\ -\dfrac{\sin^2 x}{\sin x+1}=-\dfrac12. \end{cases} $$
   Из первого уравнения получаем $$x=0.$$
   Второе уравнение:
   $$ 2\sin^2 x-\sin x-1=0. $$
   Обозначим $$t=\sin x$$. Тогда
   $$ 2t^2-t-1=0,\qquad (2t+1)(t-1)=0. $$
   Отсюда
   $$\sin x=1 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$
   Значение $$\sin x=1$$ не подходит, так как тогда $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, а это не принадлежит $$(-1;1).$$
   При $$\sin x=-\frac12$$ получаем
   $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$
   и в промежуток $$(-1;1)$$ попадает только
   $$x=-\frac{\pi}{6}.$$

2. б)

   $$4-x^2>0 \;\Longrightarrow\; -2<x<2,$$
   $$\cos x+1\ne 0 \;\Longrightarrow\; \cos x\ne -1 \;\Longrightarrow\; x\ne \pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
   На промежутке $$(-2;2)$$ имеем систему
   $$ \begin{cases} 4-x^2=1,\\ -\dfrac{\cos^2 x}{\cos x+1}=-\dfrac12. \end{cases} $$
   Из первого уравнения:
   $$ x^2=3,\qquad x=\pm\sqrt3. $$
   Второе уравнение:
   $$ 2\cos^2 x-\cos x-1=0. $$
   Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
   $$ 2t^2-t-1=0,\qquad (2t+1)(t-1)=0. $$
   Значит,
   $$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$
   При $$\cos x=1$$ получаем $$x=2\pi n,$$ и в $$(-2;2)$$ подходит только $$x=0.$$
   При $$\cos x=-\frac12$$ получаем $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$ но таких значений среди $$\pm\sqrt3$$ нет.
   Следовательно, из этого пункта подходит только
   $$x=0.$$

3. в)

   $$2-x^2>0 \;\Longrightarrow\; -\sqrt2<x<\sqrt2,$$
   $$\sin x+1\ne 0 \;\Longrightarrow\; \sin x\ne -1.$$
   На промежутке $$(-\sqrt2;\sqrt2)$$ уравнение равносильно системе
   $$ \begin{cases} 2-x^2=1,\\ -\dfrac{\sin^2 x}{\sin x+1}=-\dfrac12. \end{cases} $$
   Из первого уравнения:
   $$ x^2=1,\qquad x=\pm1. $$
   Второе уравнение даёт
   $$ 2\sin^2 x-\sin x-1=0, $$
   откуда
   $$\sin x=1 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$
   Значение $$\sin x=1$$ не подходит, так как соответствующие $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ не лежат в $$(-\sqrt2;\sqrt2).$$
   При $$\sin x=-\frac12$$ получаем $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ или $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$ и в заданный промежуток не попадает ни одно значение.
   Значит, остаётся
   $$x=\pm1.$$

4. г)

   $$2-x^2>0 \;\Longrightarrow\; -\sqrt2<x<\sqrt2,$$
   $$\cos x+1\ne 0 \;\Longrightarrow\; \cos x\ne -1.$$
   На промежутке $$(-\sqrt2;\sqrt2)$$ имеем систему
   $$ \begin{cases} 2-x^2=1,\\ -\dfrac{\cos^2 x}{\cos x+1}=-\dfrac12. \end{cases} $$
   Из первого уравнения:
   $$ x^2=1,\qquad x=\pm1. $$
   Второе уравнение:
   $$ 2\cos^2 x-\cos x-1=0. $$
   Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
   $$ 2t^2-t-1=0,\qquad (2t+1)(t-1)=0. $$
   Следовательно,
   $$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$
   При $$\cos x=1$$ получаем $$x=2\pi n,$$ и в промежуток $$(-\sqrt2;\sqrt2)$$ входит только $$x=0.$$
   При $$\cos x=-\frac12$$ получаем $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$ но таких значений среди $$\pm1$$ нет.
   Значит, подходит только
   $$x=0.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{6}$$; б) $$x=0$$; в) $$x=\pm1$$; г) $$x=0$$.