Упр.10.44 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.44

Подробный ответ

а) Рассмотрим область допустимых значений:

$$ x-1>0,\qquad 8+2x-x^2>0 $$
$$ x>1,\qquad x^2-2x-8<0 $$
$$ x\in(1;4) $$

На этом промежутке обе части уравнения положительны, поэтому можно прологарифмировать обе части:

$$ \lg\frac{1}{\sqrt{x-1}}=\lg\left((x-1)^{\log_{1/25}(8+2x-x^2)}\right) $$
$$ -\frac12\lg(x-1)=\log_{1/25}(8+2x-x^2)\,\lg(x-1) $$
$$ \lg(x-1)\left(\log_{1/25}(8+2x-x^2)+\frac12\right)=0 $$

Отсюда получаем два случая:

$$ \lg(x-1)=0 $$
или
$$ \log_{1/25}(8+2x-x^2)+\frac12=0 $$

1) $$\lg(x-1)=0 \Rightarrow x-1=1 \Rightarrow x=2.$$

2)
$$ \log_{1/25}(8+2x-x^2)=-\frac12 $$
$$ 8+2x-x^2=\left(\frac1{25}\right)^{-1/2}=5 $$
$$ x^2-2x-3=0 $$
$$ (x-3)(x+1)=0 $$
$$ x=3 \text{ или } x=-1 $$

С учётом ОДЗ $$x\in(1;4)$$ подходит только $$x=3$$.

Итак, решения уравнения: $$x=2$$ и $$x=3$$.

б) Найдём область допустимых значений:

$$ 2x-1>0,\qquad 1+7x-2x^2\ge 0 $$
$$ x>\frac12,\qquad 2x^2-7x-1\le 0 $$
$$ x\in\left(\frac12;\frac{7+\sqrt{57}}{4}\right] $$

Перепишем уравнение:

$$ (2x-1)^{\log_{1/4}(1+7x-2x^2)}=(2x-1)^{-1/2} $$

На ОДЗ получаем:

$$ \lg(2x-1)\left(\log_{1/4}(1+7x-2x^2)+\frac12\right)=0 $$

Отсюда:

$$ \lg(2x-1)=0 \Rightarrow 2x-1=1 \Rightarrow x=1 $$
или
$$ \log_{1/4}(1+7x-2x^2)=-\frac12 $$

Во втором случае:

$$ 1+7x-2x^2=\left(\frac14\right)^{-1/2}=2 $$
$$ 2x^2-7x+1=0 $$
$$ x=\frac{7\pm\sqrt{41}}{4} $$