Упр.10.43 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.43*

а) Рассмотрим область допустимых значений:

$$8x-x^2-15\ge 0$$
$$x^2-8x+15\le 0$$
$$x\in[3;5]$$

На этом множестве обе части уравнения положительны, поэтому можно прологарифмировать:

$$\lg\left((x^2+1)^{\sqrt{8x-x^2-15}}\right)=\lg\left((2x+9)^{\sqrt{8x-x^2-15}}\right)$$

$$\sqrt{8x-x^2-15}\bigl(\lg(x^2+1)-\lg(2x+9)\bigr)=0$$

Отсюда:

$$\sqrt{8x-x^2-15}=0 \quad \text{или} \quad \lg(x^2+1)=\lg(2x+9)$$

1)

$$8x-x^2-15=0$$
$$x^2-8x+15=0$$
$$x=3,\;5$$

2)

$$x^2+1=2x+9$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$x=4,\;-2$$

С учётом $x\in[3;5]$ подходит только $x=4$.

Итак, решения: $$x=3,\;4,\;5.$$

б) Найдём область допустимых значений:

$$x^2-8>0$$
$$x<-\sqrt{8}\ \text{или}\ x>\sqrt{8}$$
$$7x-20>0$$
$$x>\frac{20}{7}$$
$$24x-4x^2-35\ge 0$$
$$4x^2-24x+35\le 0$$
$$x\in\left[\frac52;\frac72\right]$$

Пересечение условий даёт:

$$x\in\left[\frac52;\frac72\right]$$

На этом множестве уравнение равносильно совокупности:

$$x^2-8=7x-20$$
$$\sqrt{24x-4x^2-35}=0$$

1)

$$x^2-7x+12=0$$
$$x=3,\;4$$

2)

$$24x-4x^2-35=0$$
$$4x^2-24x+35=0$$
$$x=\frac52,\;\frac72$$

Все найденные значения принадлежат области допустимых значений. Следовательно, решения:

$$x=3,\;\frac52,\;\frac72$$

Ответ

а) $$x=3,\;4,\;5$$
б) $$x=3,\;\frac52,\;\frac72$$