Упр.10.42 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) x^(2-lg2x-lgx2) — 1/x=0.

а) Рассмотрим область допустимых значений: $$x>0,\quad x\ne 1.$$

На этой области

$$\log_{\sqrt{x}}(2x)=\frac{\lg(2x)}{\lg\sqrt{x}}=\frac{\lg(2x)}{\frac12\lg x}=2\log_x(2x),$$

поэтому

$$x^{\log_{\sqrt{x}}(2x)}=x^{2\log_x(2x)}=(x^{\log_x(2x)})^2=(2x)^2=4x^2.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$4x^2=4,$$

откуда

$$x^2=1,\quad x=\pm 1.$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=1,$$ но $$x\ne 1.$$ Значит, корней нет.

б) Область допустимых значений: $$x>0.$$

Преобразуем уравнение:

$$x^{2-\lg^2 x-\lg x^2}-\frac1x=0,$$

так как $$\frac1x=x^{-1},$$ получаем

$$x^{2-\lg^2 x-\lg x^2}=x^{-1}.$$

При $$x>0$$ можно приравнять показатели:

$$2-\lg^2 x-\lg x^2=-1.$$

Так как $$\lg x^2=2\lg x,$$ имеем

$$2-\lg^2 x-2\lg x=-1,$$

$$\lg^2 x+2\lg x-3=0.$$

Обозначим $$t=\lg x.$$ Тогда

$$t^2+2t-3=0,$$

$$ (t-1)(t+3)=0,$$

откуда $$t=1$$ или $$t=-3.$$

Следовательно,

$$\lg x=1 \Rightarrow x=10,$$

$$\lg x=-3 \Rightarrow x=10^{-3}=\frac1{1000}.$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

а) корней нет; б) $$x=\frac1{1000},\ 10.$$