Упр.10.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- $$\log_3(5x^2-x)\cdot\log_{3x}(5x-1)=1$$
- $$\log_4(20x^2-x)\cdot\log_{16x}(20x-1)=2$$
а) Рассмотрим область допустимых значений:
$$5x-1>0,\quad x(5x-1)>0,\quad 3x>0,\quad 3x\ne 1$$
Отсюда
$$x>\frac15,\quad x>0,\quad x\ne \frac13$$
Значит,
$$M=\left(\frac15;\frac13\right)\cup\left(\frac13;+\infty\right).$$
На этом множестве
$$\log_3(5x^2-x)=\log_3 x+\log_3(5x-1),$$
$$\log_{3x}(5x-1)=\frac{\log_3(5x-1)}{\log_3(3x)}=\frac{\log_3(5x-1)}{1+\log_3 x}.$$
Тогда уравнение принимает вид
$$\left(\log_3 x+\log_3(5x-1)\right)\frac{\log_3(5x-1)}{1+\log_3 x}=1.$$
Обозначим
$$a=\log_3 x,\qquad b=\log_3(5x-1).$$
Получаем
$$(a+b)\frac{b}{1+a}=1.$$
Умножим на $$1+a$$:
$$(a+b)b=1+a$$
$$ab+b^2-1-a=0$$
$$a(b-1)+(b^2-1)=0$$
$$(b-1)(a+b+1)=0.$$
Следовательно,
$$\begin{cases} b-1=0,\\ \text{или}\\ a+b+1=0. \end{cases}$$
1) $$b=1$$, то есть
$$\log_3(5x-1)=1 \Rightarrow 5x-1=3 \Rightarrow x=\frac45.$$
2) $$a+b+1=0$$, то есть
$$\log_3 x+\log_3(5x-1)=-1$$
$$\log_3\bigl(x(5x-1)\bigr)=\log_3\frac13$$
$$5x^2-x=\frac13.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$15x^2-3x-1=0$$
$$x=\frac{3\pm\sqrt{69}}{30}.$$
С учётом $$x\in M$$ подходит только
$$x=\frac{3+\sqrt{69}}{30}.$$
Итак,
$$x\in\left\{\frac45,\frac{3+\sqrt{69}}{30}\right\}.$$
б) Область допустимых значений:
$$20x-1>0,\quad x(20x-1)>0,\quad 16x\ne 1,\quad 16x>0$$
Отсюда
$$x>\frac1{20},\quad x>0,\quad x\ne \frac1{16}.$$
Значит,
$$M=\left(\frac1{20};\frac1{16}\right)\cup\left(\frac1{16};+\infty\right).$$
На этом множестве
$$\log_4\bigl(x(20x-1)\bigr)=\log_4 x+\log_4(20x-1),$$
$$\log_{16x}(20x-1)=\frac{\log_4(20x-1)}{\log_4(16x)}=\frac{\log_4(20x-1)}{2+\log_4 x}.$$
Тогда
$$\left(\log_4 x+\log_4(20x-1)\right)\frac{\log_4(20x-1)}{2+\log_4 x}=2.$$
Обозначим
$$a=\log_4 x,\qquad b=\log_4(20x-1).$$
Получаем
$$(a+b)\frac{b}{2+a}=2.$$
Умножим на $$2+a$$:
$$(a+b)b=2(2+a)$$
$$ab+b^2-4-2a=0$$
$$a(b-2)+(b^2-4)=0$$
$$(b-2)(a+b+2)=0.$$
Следовательно,
$$\begin{cases} b-2=0,\\ \text{или}\\ a+b+2=0. \end{cases}$$
1) $$b=2$$, то есть
$$\log_4(20x-1)=2 \Rightarrow 20x-1=16 \Rightarrow x=\frac{17}{20}.$$
2) $$a+b+2=0$$, то есть
$$\log_4\bigl(x(20x-1)\bigr)=\log_4\frac1{16}$$
$$20x^2-x=\frac1{16}.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$320x^2-16x-1=0$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt6}{40}.$$
С учётом $$x\in M$$ подходит только
$$x=\frac{1+\sqrt6}{40}.$$
Итак,
$$x\in\left\{\frac{17}{20},\frac{1+\sqrt6}{40}\right\}.$$
Ответ
а) $$x\in\left\{\frac45,\frac{3+\sqrt{69}}{30}\right\}$$;
б) $$x\in\left\{\frac{17}{20},\frac{1+\sqrt6}{40}\right\}$$.
