Упр.10.41 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

6) log4(20×2 — x) * log16x(20x — 1) = 2.

а) Рассмотрим область допустимых значений:

$$ 5x-1>0,\quad x(5x-1)>0,\quad 3x>0,\quad 3x\ne 1 $$

Отсюда

$$ x>\frac15,\quad x>0,\quad x\ne \frac13 $$

Значит,

$$ M=\left(\frac15;\frac13\right)\cup\left(\frac13;+\infty\right). $$

На этом множестве

$$ \log_3(5x^2-x)=\log_3 x+\log_3(5x-1), $$
$$ \log_{3x}(5x-1)=\frac{\log_3(5x-1)}{\log_3(3x)}=\frac{\log_3(5x-1)}{1+\log_3 x}. $$

Тогда уравнение принимает вид

$$ \left(\log_3 x+\log_3(5x-1)\right)\frac{\log_3(5x-1)}{1+\log_3 x}=1. $$

Обозначим

$$ a=\log_3 x,\qquad b=\log_3(5x-1). $$

Получаем

$$ (a+b)\frac{b}{1+a}=1. $$

Умножим на $$1+a$$:

$$ (a+b)b=1+a $$

$$ ab+b^2-1-a=0 $$

$$ a(b-1)+(b^2-1)=0 $$

$$ (b-1)(a+b+1)=0. $$

Следовательно,

$$ \begin{cases} b-1=0,\\ \text{или}\\ a+b+1=0. \end{cases} $$

1) $$b=1$$, то есть

$$ \log_3(5x-1)=1 \Rightarrow 5x-1=3 \Rightarrow x=\frac45. $$

2) $$a+b+1=0$$, то есть

$$ \log_3 x+\log_3(5x-1)=-1 $$
$$ \log_3\bigl(x(5x-1)\bigr)=\log_3\frac13 $$
$$ 5x^2-x=\frac13. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ 15x^2-3x-1=0 $$
$$ x=\frac{3\pm\sqrt{69}}{30}. $$

С учётом $$x\in M$$ подходит только

$$ x=\frac{3+\sqrt{69}}{30}. $$

Итак,

$$ x\in\left\{\frac45,\frac{3+\sqrt{69}}{30}\right\}. $$

б) Область допустимых значений:

$$ 20x-1>0,\quad x(20x-1)>0,\quad 16x\ne 1,\quad 16x>0 $$

Отсюда

$$ x>\frac1{20},\quad x>0,\quad x\ne \frac1{16}. $$

Значит,

$$ M=\left(\frac1{20};\frac1{16}\right)\cup\left(\frac1{16};+\infty\right). $$

На этом множестве

$$ \log_4\bigl(x(20x-1)\bigr)=\log_4 x+\log_4(20x-1), $$
$$ \log_{16x}(20x-1)=\frac{\log_4(20x-1)}{\log_4(16x)}=\frac{\log_4(20x-1)}{2+\log_4 x}. $$

Тогда

$$ \left(\log_4 x+\log_4(20x-1)\right)\frac{\log_4(20x-1)}{2+\log_4 x}=2. $$

Обозначим

$$ a=\log_4 x,\qquad b=\log_4(20x-1). $$

Получаем

$$ (a+b)\frac{b}{2+a}=2. $$

Умножим на $$2+a$$:

$$ (a+b)b=2(2+a) $$
$$ ab+b^2-4-2a=0 $$
$$ a(b-2)+(b^2-4)=0 $$
$$ (b-2)(a+b+2)=0. $$

Следовательно,

$$ \begin{cases} b-2=0,\\ \text{или}\\ a+b+2=0. \end{cases} $$

1) $$b=2$$, то есть

$$ \log_4(20x-1)=2 \Rightarrow 20x-1=16 \Rightarrow x=\frac{17}{20}. $$

2) $$a+b+2=0$$, то есть

$$ \log_4\bigl(x(20x-1)\bigr)=\log_4\frac1{16} $$
$$ 20x^2-x=\frac1{16}. $$

Решаем квадратное уравнение:

$$ 320x^2-16x-1=0 $$
$$ x=\frac{1\pm\sqrt6}{40}. $$

С учётом $$x\in M$$ подходит только

$$ x=\frac{1+\sqrt6}{40}. $$

Итак,

$$ x\in\left\{\frac{17}{20},\frac{1+\sqrt6}{40}\right\}. $$

Ответ

а) $$x\in\left\{\frac45,\frac{3+\sqrt{69}}{30}\right\}$$;
б) $$x\in\left\{\frac{17}{20},\frac{1+\sqrt6}{40}\right\}$$.