Упр.10.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_{2}(8x^2-x)\cdot\log_{4x}(8x-1)=2$$
2. б) $$\log_{5}(x-2)\cdot\log_{\sqrt{x+10}}5=1$$
3. в) $$\log_{3}(x-1)\cdot\log_{\sqrt{x+5}}3=1$$

1. а) Найдём область допустимых значений:

   $$\begin{cases} 8x^2-x>0,\\ 8x-1>0,\\ 4x\ne 1. \end{cases}$$

   Так как $$8x^2-x=x(8x-1),$$ то получаем

   $$\begin{cases} x(8x-1)>0,\\ 8x-1>0,\\ x\ne \frac14. \end{cases}$$

   Отсюда

   $$x>\frac18,\quad x\ne \frac14.$$

   На этой области

   $$\log_2(8x^2-x)=\log_2 x+\log_2(8x-1),$$

   а также

   $$\log_{4x}(8x-1)=\frac{\log_2(8x-1)}{\log_2(4x)} =\frac{\log_2(8x-1)}{2+\log_2 x}.$$

   Обозначим

   $$m=\log_2 x,\qquad n=\log_2(8x-1).$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$(m+n)\frac{n}{2+m}=2.$$

   Умножим на $$2+m\ne 0$$:

   $$n(m+n)=4+2m.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$mn+n^2-4-2m=0,$$

   $$m(n-2)+(n-2)(n+2)=0,$$

   $$(n-2)(m+n+2)=0.$$

   Отсюда:

   $$n-2=0 \quad \text{или} \quad m+n+2=0.$$

   1) $$n=2,$$ тогда

   $$\log_2(8x-1)=2 \Rightarrow 8x-1=4 \Rightarrow x=\frac58.$$

   2) $$m+n+2=0,$$ то есть

   $$\log_2 x+\log_2(8x-1)+2=0.$$

   Это даёт

   $$\log_2\bigl(x(8x-1)\bigr)= -2 \Rightarrow x(8x-1)=\frac14.$$

   Тогда

   $$8x^2-x=\frac14 \Rightarrow 32x^2-4x-1=0,$$

   $$x=\frac14 \quad \text{или} \quad x=-\frac18.$$

   Оба значения не подходят: $$x=\frac14$$ запрещено по ОДЗ, а $$x=-\frac18$$ не принадлежит ОДЗ.

2. б) Область допустимых значений:

   $$\begin{cases} x-2>0,\\ x+10>0,\\ x+10\ne 0. \end{cases}$$

   Следовательно, $$x>2.$$

   Преобразуем логарифм с основанием $$\sqrt{x+10}$$:

   $$\log_{\sqrt{x+10}}5=\frac{1}{\log_5\sqrt{x+10}} =\frac{2}{\log_5(x+10)}.$$

   Тогда уравнение равносильно

   $$\log_5(x-2)\cdot \frac{2}{\log_5(x+10)}=1.$$

   Умножим на $$\log_5(x+10)$$:

   $$2\log_5(x-2)=\log_5(x+10).$$

   Отсюда

   $$\log_5(x-2)^2=\log_5(x+10),$$

   значит

   $$(x-2)^2=x+10.$$

   Решаем:

   $$x^2-5x-6=0,$$

   $$x=-1 \quad \text{или} \quad x=6.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=6.$$

3. в) Область допустимых значений:

   $$\begin{cases} x-1>0,\\ x+5>0,\\ x+5\ne 1. \end{cases}$$

   Следовательно, $$x>1.$$

   Преобразуем:

   $$\log_{\sqrt{x+5}}3=\frac{1}{\log_3\sqrt{x+5}} =\frac{2}{\log_3(x+5)}.$$

   Тогда

   $$\log_3(x-1)\cdot \frac{2}{\log_3(x+5)}=1.$$

   Умножим на $$\log_3(x+5)$$:

   $$2\log_3(x-1)=\log_3(x+5).$$

   Получаем

   $$\log_3(x-1)^2=\log_3(x+5),$$

   значит

   $$(x-1)^2=x+5.$$

   Решаем:

   $$x^2-3x-4=0,$$

   $$x=-1 \quad \text{или} \quad x=4.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=4.$$

Ответ

а) $$x=\frac58$$; б) $$x=6$$; в) $$x=4$$.