Упр.10.4 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.4* Докажите утверждение о возведении уравнения в четную степень.

Подробный ответ

Пусть $$2m$$ — чётное натуральное число, и для всех $$x \in M$$ функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ определены и неотрицательны.

Докажем, что уравнения $$f(x)=g(x)$$ и $$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$$ равносильны.

1) Если $$x_0$$ — решение уравнения $$f(x)=g(x)$$, то $$f(x_0)=g(x_0)$$. Так как обе части неотрицательны, то после возведения в степень $$2m$$ получаем

$$\bigl(f(x_0)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x_0)\bigr)^{2m}.$$

Значит, каждое решение уравнения $$f(x)=g(x)$$ является решением уравнения $$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$$.

2) Пусть теперь $$x_1$$ — решение уравнения $$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$$. Тогда

$$\bigl(f(x_1)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x_1)\bigr)^{2m}.$$

Поскольку $$f(x_1)\ge 0$$ и $$g(x_1)\ge 0$$, из равенства их чётных степеней следует

$$f(x_1)=g(x_1).$$

Следовательно, каждое решение уравнения $$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$$ является решением уравнения $$f(x)=g(x)$$.

3) Если уравнение $$f(x)=g(x)$$ не имеет решений, то и уравнение $$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$$ не имеет решений, так как любое его решение по уже доказанному было бы решением уравнения $$f(x)=g(x)$$. Обратное доказывается аналогично.

Итак, уравнения $$f(x)=g(x)$$ и $$\bigl(f(x)\bigr)^{2m}=\bigl(g(x)\bigr)^{2m}$$ равносильны.