Упр.10.39 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.39

а) Рассмотрим область допустимых значений:

$$ x>0,\quad \log_3 x\neq 0,\quad 1+\log_x 27\neq 0. $$

Из условий получаем:

$$ x\neq 1,\quad x\neq \frac{1}{27},\quad x\neq \frac{1}{27}. $$

Значит, все решения лежат на множестве

$$ M=(0;\tfrac{1}{27})\cup(\tfrac{1}{27};1)\cup(1;+\infty). $$

Используем формулу

$$ \log_x 27=\frac{1}{\log_{27}x}=\frac{3}{\log_3 x}. $$

Тогда уравнение равносильно:

$$ \log_3 x-\frac{2}{1+\log_x 27}=0 $$
$$ \log_3 x-\frac{2}{1+\frac{3}{\log_3 x}}=0 $$
$$ \log_3 x-\frac{2\log_3 x}{\log_3 x+3}=0. $$

Умножим на $$\log_3 x+3$$:

$$ \log_3 x(\log_3 x+3)-2\log_3 x=0 $$
$$ \log_3^2 x+\log_3 x=0 $$
$$ \log_3 x(\log_3 x+1)=0. $$

Отсюда:

$$ \log_3 x=0 \quad \text{или} \quad \log_3 x=-1. $$

Первый корень не подходит, так как $$x=1$$ не входит в область допустимых значений. Второй даёт:

$$ x=3^{-1}=\frac{1}{3}. $$

Но $$\frac{1}{3}\in M$$, значит это решение подходит.

б) Аналогично, область допустимых значений:

$$ x>0,\quad x\neq 1,\quad 2+\log_2 x\neq 0, $$
$$ x\neq \frac14. $$

Используем формулу

$$ 1+\log_x 4=1+\frac{1}{\log_4 x}=1+\frac{2}{\log_2 x}=\frac{\log_2 x+2}{\log_2 x}. $$

Тогда уравнение равносильно:

$$ \log_2 x-\frac{8}{2+\log_2 x}=\frac{4\log_2 x}{\log_2 x+2}. $$

Умножим на $$\log_2 x+2$$:

$$ \log_2^2 x+2\log_2 x-8-4\log_2 x=0 $$
$$ \log_2^2 x-2\log_2 x-8=0. $$

Обозначим $$t=\log_2 x$$. Тогда

$$ t^2-2t-8=0 $$
$$ (t-4)(t+2)=0. $$

Получаем:

$$ \log_2 x=4 \quad \text{или} \quad \log_2 x=-2. $$

Отсюда

$$ x=16 \quad \text{или} \quad x=\frac14. $$

Число $$\frac14$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель. Значит, остаётся только $$x=16$$.

Ответ

а) $$x=\frac13$$;
б) $$x=16$$.