Упр.10.37 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) $$\lg(x-1)+\sqrt{9-x^2}=\lg(x-1)+\sqrt{x+5}$$;
б) $$\lg(1-x)+\sqrt{25-x^2}=\lg(1-x)+\sqrt{x+16}$$.
а) Рассмотрим область допустимых значений:
$$x-1>0,\quad 9-x^2\ge 0,\quad x+5\ge 0.$$
Отсюда
$$x>1,\quad -3\le x\le 3,\quad x\ge -5.$$
Следовательно, $$M=(1;3].$$
Так как логарифмы в левой части одинаковые, получаем:
$$\lg(x-1)+\sqrt{9-x^2}=\lg(x-1)+\sqrt{x+5}$$
$$\sqrt{9-x^2}=\sqrt{x+5}.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$9-x^2=x+5.$$
$$x^2+x-4=0.$$
$$x=\frac{-1-\sqrt7}{2},\quad x=\frac{-1+\sqrt7}{2}.$$
С учётом $$x\in(1;3]$$ подходит только
$$x=\frac{-1+\sqrt7}{2}.$$
б) Найдём область допустимых значений:
$$1-x>0,\quad 25-x^2\ge 0,\quad x+16\ge 0.$$
Отсюда
$$x<1,\quad -5\le x\le 5,\quad x\ge -16.$$
Следовательно, $$M=[-5;1).$$
Имеем:
$$\lg(1-x)+\sqrt{25-x^2}=\lg(1-x)+\sqrt{x+16}$$
$$\sqrt{25-x^2}=\sqrt{x+16}.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$25-x^2=x+16.$$
$$x^2+x-9=0.$$
$$x=\frac{-1-\sqrt{37}}{2},\quad x=\frac{-1+\sqrt{37}}{2}.$$
С учётом $$x\in[-5;1)$$ подходит только
$$x=\frac{-1-\sqrt{37}}{2}.$$
Ответ
а) $$x=\frac{-1+\sqrt7}{2}$$; б) $$x=\frac{-1-\sqrt{37}}{2}$$.
