Упр.10.35 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
б) log3(x-3)2 = 2log3 корень x;
в) lg(x-2)2 = 2lg корень (3-x);
г) lg(x-1)2 = 2lg корень (2-x).
а) Рассмотрим область допустимых значений:
$$x>0,\quad x-5\neq 0.$$
Значит, $$x\in(0;5)\cup(5;+\infty).$$
На этой области
$$2\log_5\sqrt{x}=\log_5 x.$$
Тогда уравнение равносильно
$$\log_5(x-5)^2=\log_5 x,$$
откуда
$$ (x-5)^2=x.$$
Решаем:
$$ x^2-10x+25=x \\ x^2-11x+25=0 $$
$$ x=\frac{11\pm\sqrt{121-100}}{2}=\frac{11\pm\sqrt{21}}{2}. $$
Оба корня принадлежат области допустимых значений.
б) Область допустимых значений:
$$x>0,\quad x-3\neq 0,$$
то есть $$x\in(0;3)\cup(3;+\infty).$$
На этой области
$$2\log_3\sqrt{x}=\log_3 x.$$
Следовательно,
$$\log_3(x-3)^2=\log_3 x,$$
или
$$ (x-3)^2=x.$$
Получаем:
$$ x^2-6x+9=x \\ x^2-7x+9=0 $$
$$ x=\frac{7\pm\sqrt{49-36}}{2}=\frac{7\pm\sqrt{13}}{2}. $$
Оба корня подходят.
в) Область допустимых значений:
$$3-x>0,\quad x-2\neq 0,$$
то есть $$x\in(-\infty;2)\cup(2;3).$$
На этой области
$$2\lg\sqrt{3-x}=\lg(3-x).$$
Тогда
$$\lg(x-2)^2=\lg(3-x),$$
откуда
$$ (x-2)^2=3-x.$$
Решаем:
$$ x^2-4x+4=3-x \\ x^2-3x+1=0 $$
$$ x=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}. $$
Оба корня принадлежат области допустимых значений.
г) Область допустимых значений:
$$2-x>0,\quad x-1\neq 0,$$
то есть $$x\in(-\infty;1)\cup(1;2).$$
На этой области
$$2\lg\sqrt{2-x}=\lg(2-x).$$
Следовательно,
$$\lg(x-1)^2=\lg(2-x),$$
или
$$ (x-1)^2=2-x.$$
Решаем:
$$ x^2-2x+1=2-x \\ x^2-x-1=0 $$
$$ x=\frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}. $$
Оба корня подходят.
Ответ
а) $$x=\frac{11-\sqrt{21}}{2},\ \frac{11+\sqrt{21}}{2}$$; б) $$x=\frac{7-\sqrt{13}}{2},\ \frac{7+\sqrt{13}}{2}$$; в) $$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\ \frac{3+\sqrt{5}}{2}$$; г) $$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2},\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$.
