Упр.10.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\log_2(x+2)+\log_2(3x+2)=\log_2(5x+22);$$ б) $$\log_3(x-5)+\log_3(x+1)=\log_3(3x+3);$$ в) $$\log_5(x-6)+\log_5(2x+11)=\log_5(3x+4);$$ г) $$\log_4(2x+6)+\log_4(3x-14)=\log_4(3x+1).$$

1. а) Область допустимых значений:

   $$x+2>0,\quad 3x+2>0,\quad 5x+22>0.$$

   Отсюда $$x>-\frac23.$$

   Тогда

   $$\log_2(x+2)+\log_2(3x+2)=\log_2(5x+22)$$

   $$\log_2\bigl((x+2)(3x+2)\bigr)=\log_2(5x+22),$$

   $$(x+2)(3x+2)=5x+22.$$

   $$3x^2+8x+4=5x+22,$$

   $$3x^2+3x-18=0,$$

   $$x^2+x-6=0,$$

   $$x=-3 \text{ или } x=2.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=2.$$

2. б) Область допустимых значений:

   $$x-5>0,\quad x+1>0,\quad 3x+3>0.$$

   Отсюда $$x>5.$$

   Тогда

   $$\log_3(x-5)+\log_3(x+1)=\log_3(3x+3)$$

   $$\log_3\bigl((x-5)(x+1)\bigr)=\log_3(3x+3),$$

   $$(x-5)(x+1)=3x+3.$$

   $$x^2-4x-5=3x+3,$$

   $$x^2-7x-8=0,$$

   $$x=8 \text{ или } x=-1.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=8.$$

3. в) Область допустимых значений:

   $$x-6>0,\quad 2x+11>0,\quad 3x+4>0.$$

   Отсюда $$x>6.$$

   Тогда

   $$\log_5(x-6)+\log_5(2x+11)=\log_5(3x+4)$$

   $$\log_5\bigl((x-6)(2x+11)\bigr)=\log_5(3x+4),$$

   $$(x-6)(2x+11)=3x+4.$$

   $$2x^2-x-66=3x+4,$$

   $$2x^2-4x-70=0,$$

   $$x^2-2x-35=0,$$

   $$x=7 \text{ или } x=-5.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=7.$$

4. г) Область допустимых значений:

   $$2x+6>0,\quad 3x-14>0,\quad 3x+1>0.$$

   Отсюда $$x>\frac{14}{3}.$$

   Тогда

   $$\log_4(2x+6)+\log_4(3x-14)=\log_4(3x+1)$$

   $$\log_4\bigl((2x+6)(3x-14)\bigr)=\log_4(3x+1),$$

   $$(2x+6)(3x-14)=3x+1.$$

   $$6x^2-28x+18x-84=3x+1,$$

   $$6x^2-13x-85=0,$$

   $$x=\frac{13\pm 47}{12}.$$

   Получаем $$x=5$$ или $$x=-\frac{17}{6}.$$

   С учётом ОДЗ подходит только $$x=5.$$

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=8$$; в) $$x=7$$; г) $$x=5$$.