Упр.10.32 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
а) $$\sqrt{2x-1}=2\sqrt{x-1}+1$$;
б) $$2\sqrt{3x+7}=3\sqrt{2x+2}+2$$;
в) $$\sqrt{6x-3}-2\sqrt{x}=1$$;
г) $$\sqrt{2x-1}-\sqrt{x}=1$$.
а) $$\sqrt{2x-1}=2\sqrt{x-1}+1$$
Область определения: $$2x-1\ge 0,\quad x-1\ge 0,$$ значит $$x\ge 1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x-1=4(x-1)+4\sqrt{x-1}+1$$
$$2x-1=4x-4+4\sqrt{x-1}+1$$
$$4-2x=4\sqrt{x-1}$$
$$2-x=2\sqrt{x-1}$$
Снова возведём в квадрат:
$$\left(2-x\right)^2=4(x-1)$$
$$x^2-4x+4=4x-4$$
$$x^2-8x+8=0$$
$$x=4\pm 2\sqrt2$$
С учётом $$x\ge 1$$ и проверки в исходном уравнении подходит только $$x=4-2\sqrt2.$$
б) $$2\sqrt{3x+7}=3\sqrt{2x+2}+2$$
Область определения: $$3x+7\ge 0,\quad 2x+2\ge 0,$$ значит $$x\ge -1.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$4(3x+7)=9(2x+2)+12\sqrt{(3x+7)(2x+2)}+4$$
$$12x+28=18x+22+12\sqrt{(3x+7)(2x+2)}$$
$$6-6x=12\sqrt{(3x+7)(2x+2)}$$
Левая часть должна быть неотрицательной, а правая неотрицательна всегда. Но при $$x\ge -1$$ из равенства следует $$6-6x\ge 0,$$ то есть $$x\le 1.$$
Проверим возможное значение $$x=1$$:
$$2\sqrt{10}\ne 3\sqrt4+2=8.$$
Следовательно, корней нет.
в) $$\sqrt{6x-3}-2\sqrt{x}=1$$
Область определения: $$6x-3\ge 0,\quad x\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac12.$$
Перенесём:
$$\sqrt{6x-3}=1+2\sqrt{x}$$
Возведём в квадрат:
$$6x-3=1+4\sqrt{x}+4x$$
$$2x-4\sqrt{x}-4=0$$
$$x-2\sqrt{x}-2=0$$
Положим $$\sqrt{x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2-2t-2=0$$
$$t=1\pm \sqrt3$$
С учётом $$t\ge 0$$ получаем $$t=1+\sqrt3.$$ Тогда
$$\sqrt{x}=1+\sqrt3,$$
$$x=(1+\sqrt3)^2=4+2\sqrt3.$$
г) $$\sqrt{2x-1}=\sqrt{x}+1$$
Область определения: $$2x-1\ge 0,\quad x\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac12.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x-1=x+2\sqrt{x}+1$$
$$x-2\sqrt{x}-2=0$$
Положим $$\sqrt{x}=t,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2-2t-2=0$$
$$t=1\pm \sqrt3$$
С учётом $$t\ge 0$$ получаем $$t=1+\sqrt3.$$ Следовательно,
$$\sqrt{x}=1+\sqrt3,$$
$$x=(1+\sqrt3)^2=4+2\sqrt3.$$
Ответ
а) $$4-2\sqrt2$$; б) корней нет; в) $$4+2\sqrt3$$; г) $$4+2\sqrt3$$.
