Упр.10.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.30

Используем формулу

$$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=\cos 2x,$$

которая верна при

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Тогда уравнение

$$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=\sin x$$

равносильно на этом множестве уравнению

$$\cos 2x=\sin x.$$

Преобразуем:

$$1-2\sin^2 x=\sin x,$$

$$2\sin^2 x+\sin x-1=0,$$

$$\left(2\sin x-1\right)\left(\sin x+1\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-1.$$

Но при $$\sin x=-1$$ получаем $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ а такие значения не входят в область допустимых значений, так как $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k.$$

Значит, остаётся

$$\sin x=\frac12.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=\left\{\frac{\pi}{6}+2\pi n;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\}.$$