Упр.10.3 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) f(x)/g(x) = фи (х) и f(x) = g(x) фи (x);
б) корень f(x) = фи (х) и f(x) = фи^2 (х);
в) (корень f(x)) (корень g(x)) = фи(x) и корень (f(x)g(x))= фи(x);
г) (корень f(x))/ (корень g(x)) = фи(x) и корень (f(x)/g(x))= фи(x);
д) f(x) + (корень g(x)) = фи(x) + корень g(x) и f(x) = фи(x);
е) корень (f(x))2 = фи(x) и f(x) = фи(х);
ж) logaf(x) = logag(x) и f(x) = g(x);
з) logaf(x) + loga g (x) = фи(x) и loga (f(x)g(x)) = фи(х);
и) logaf(x) — loga g (x) = фи(x) и loga (f(x)/g(x)) = фи(х);
к) 1/logf(x)a = фи(x) и logaf(x)=фи(x);
л) loga (f(x))2 = фи(x) и 2 loga|f(x)| = фи (x);
м) 2 loga f(x) = фи(x) и loga (f(x))2 = фи (х);
н) aloga f(x) = фи(x) и f(x) = фи(х);
о) (1-tg2x)/(1+tg2x) = фи(x) и cos2x = фи(x);
п) 2tgx/(1-tg2x) = фи(x) и tg2x = фи(x)?

1. $$\frac{f(x)}{g(x)}=\varphi(x)\quad \text{и}\quad f(x)=g(x)\varphi(x)$$

   Чтобы переход от дроби к произведению был равносилен, нужно, чтобы знаменатель не обращался в нуль:

   $$g(x)\ne 0$$

2. $$\sqrt{f(x)}=\varphi(x)\quad \text{и}\quad f(x)=\varphi^2(x)$$

   Для существования корня необходимо:

   $$f(x)\ge 0$$

3. $$\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)}=\varphi(x)\quad \text{и}\quad \sqrt{f(x)g(x)}=\varphi(x)$$

   Нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:

   $$f(x)\ge 0,\quad g(x)\ge 0$$

4. $$\frac{\sqrt{f(x)}}{\sqrt{g(x)}}=\varphi(x)\quad \text{и}\quad \sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}=\varphi(x)$$

   Здесь требуется:

   $$f(x)\ge 0,\quad g(x)>0$$

5. $$f(x)+\sqrt{g(x)}=\varphi(x)+\sqrt{g(x)}\quad \text{и}\quad f(x)=\varphi(x)$$

   Чтобы обе записи были определены, достаточно:

   $$g(x)\ge 0$$

6. $$\sqrt{(f(x))^2}=\varphi(x)\quad \text{и}\quad f(x)=\varphi(x)$$

   Так как $$\sqrt{(f(x))^2}=|f(x)|$$, для равносильности нужно:

   $$f(x)\ge 0$$

7. $$\log_a f(x)=\log_a g(x)\quad \text{и}\quad f(x)=g(x)$$

   Для существования логарифмов необходимо:

   $$f(x)>0,\quad g(x)>0$$

8. $$\log_a f(x)+\log_a g(x)=\varphi(x)\quad \text{и}\quad \log_a(f(x)g(x))=\varphi(x)$$

   Нужно, чтобы оба логарифма были определены:

   $$f(x)>0,\quad g(x)>0$$

9. $$\log_a f(x)-\log_a g(x)=\varphi(x)\quad \text{и}\quad \log_a\!\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\varphi(x)$$

   Требуется:

   $$f(x)>0,\quad g(x)>0$$

10. $$\frac{1}{\log_{f(x)} a}=\varphi(x)\quad \text{и}\quad \log_a f(x)=\varphi(x)$$

    Для существования логарифма и знаменателя нужно:

    $$f(x)>0,\quad f(x)\ne 1$$

11. $$\log_a (f(x))^2=\varphi(x)\quad \text{и}\quad 2\log_a|f(x)|=\varphi(x)$$

    Чтобы обе записи были определены, достаточно:

    $$f(x)\ne 0$$

12. $$2\log_a f(x)=\varphi(x)\quad \text{и}\quad \log_a (f(x))^2=\varphi(x)$$

    Здесь нужно:

    $$f(x)>0$$

13. $$a^{\log_a f(x)}=\varphi(x)\quad \text{и}\quad f(x)=\varphi(x)$$

    Для логарифма требуется:

    $$f(x)>0$$

14. $$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}=\varphi(x)\quad \text{и}\quad \cos 2x=\varphi(x)$$

    Нужно, чтобы тангенс был определён:

    $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

15. $$\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=\varphi(x)\quad \text{и}\quad \tg 2x=\varphi(x)$$

    Требуется, чтобы были определены обе записи:

    $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$g(x)\ne 0$$;
б) $$f(x)\ge 0$$;
в) $$f(x)\ge 0,\ g(x)\ge 0$$;
г) $$f(x)\ge 0,\ g(x)>0$$;
д) $$g(x)\ge 0$$;
е) $$f(x)\ge 0$$;
ж) $$f(x)>0,\ g(x)>0$$;
з) $$f(x)>0,\ g(x)>0$$;
и) $$f(x)>0,\ g(x)>0$$;
к) $$f(x)>0,\ f(x)\ne 1$$;
л) $$f(x)\ne 0$$;
м) $$f(x)>0$$;
н) $$f(x)>0$$;
о) $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
п) $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$.